Primitivität und Impriinitivität. 207 



i. du , dSl ^ tr^ N%. 





Sl muss demnach sicher die r linearen partiellen Differentialgleichungen 

 erfüllen : 



Die 0^ . . 0,. können dabei irgend welche Functionen von Sl allein 

 bedeuten. 



Man kann nun so verfahren, dass man etwa ß aus der ersten 

 Forderung : 



zu bestimmen sucht. Bemerkt man nämlich, dass statt Si = Const. 

 auch F{ü) = Const. die gesuchte Schar darstellt, so sieht man leicht 

 ein, dass ß = Const. in solcher Form gedacht werden kann, dass 

 entweder 



U^Sl = oder U^Sl= 1 



ist. Hat man ß so bestimmt, dass sie eine dieser beiden Bedingimo-en 

 erfüllt, und sind alsdann nicht alle TL^Sl . . UrS2, Functionen von Sl 

 allein, so ist die Gruppe sicher primitiv. Wenn jedoch auch U.,Sl..U,Sl 

 als Functionen von £1 allein darstellbar sind, so ist nun noch nach- 

 träglich zu untersuchen, ob i^ = Const. auch eine bei allen endlichen 

 Transformationen der Gruppe invariante Schar darstellt. Dazu wäre 

 also zunächst die Kenntnis der endlichen Gleichungen der Gruppe er- 

 forderlich. 



Dies Verfahren verlangt die Integration der Differentialgleichungen 

 fi^i = oder Uj^Sl = 1. Um diese zu vermeiden, kann man einen 

 anderen Weg einschlagen, den wir aber an dieser Stelle nicht er- 

 schöpfend angeben werden. 



Eine Schar von oo^ Curven kann durch eine Differentialgleichung zweites 

 erster Ordnung "^'^^It:''" 



F(x, y, y') = 



definiert werden. Um also zu entscheiden, ob die vorgelegte Gruppe 

 Ulf. . Urf imprimitiv ist, können wir uns auch fragen, ob ihre Trans- 

 formationen eine Differentialgleichung erster Ordnung invariant lassen. 

 Zunächst müsste jede infinitesimale Transformation der Gruppe 

 diese Gleichung ungeändert lassen. Dies kommt, da die allgemeine 

 infinitesimale Transformation linear aus UJ. . f/r/" ableitbar ist, darauf 

 hmaus, dass die Differentialgleichung insbesondere UJ.. ^;./" gestatten 



