208 Kapitel 8, § 3. 



müsste. (Mau vgl. hierzu die Ähnlichkeiten darbietenden Betrachtungen 

 über Differentialinvarianten und invariante Differentialgleichungen in 

 § 3 des 4. Kap.). Bei 



Uif=ip + t]iq 



erfährt x das Increment ^/dt, y das Increment ij/dt und y das früher 

 schon berechnete Increment: 



^ , ^ dy dx • döy — dy ■ d8x 



^ dx dx^ 



=\dx-^y\dv-dx)-y'j^)^^- 



Mithin erhält bei Uif die linke Seite F{x, y, y) der gesuchten 

 Differentialgleichung bis auf den Factor dt das Increment: 



^' dx ^ ^'dy ^\dx^ y \dy dx) ^ oy ) ^V 



Die Gleichung F{x, y, y) = bleibt invariant bei Uif, wenn dies In- 

 crement verschwindet, sobald zwischen x, y, y die Relation F==0 be- 

 steht. Wir fordern demnach, dass 



(i=l, 2--r) 

 sei vermöge F{x, y, y) = 0. Hierin ist natürlich 



' =: ^JlL _J_ ' (^ 1i ^ ^t \ ' 2 ^ li 



'' dx ' ') \dy dx) ^ dy 

 zu setzen. 



Nehmen wir nun an, die vorgelegte Gruppe sei mehr als zwei- 

 gliedrig, sei also r > 2, so wählen wir aus den r Gleichungen (2) 



irgend drei aus. Sie sind linear und homogen in ^— , ^ , o*., und 



^ ° dx ' dy ' dy * 



wir dürfen voraussetzen, dass diese drei Differentialquotienten vermöge 

 F=0 nicht sämtlich verschwinden, indem wir uns etwa F=0 in 



aufgelöster Form y — f(x, y) = geschrieben denken, in der o— ^ 1 



ist. Da die drei Gleichungen bestehen sollen, wenn F = ist, so 

 muss auch ihre Determinante 



^iki ^ 



verschwinden, sobald F=0 ist. Dies gilt von allen so zu bildenden: 

 dreireihigen Determinanten. Sie müssen sämtlich vermöge F == Ö ver- 

 schwinden. 



