Primitivität und Imprimitiviiät. 209 



Sind sie nicht sämtlich an sich identisch Null, so enthalten die 

 nicht identisch verschwindenden notgedrungen sämtlich einen Factor, 

 der gleich Null gesetzt sich mit der Gleichung F = deckt. Man 

 kann also durch ausführbare Operationen alle Gleichungen F = be- 

 stimmen, die überhaupt in Betracht kommen. Allerdings bleibt als- 

 dann noch die Frage offen, ob nun auch jede Transformation der 

 r-gkedrigen Gruppe diese Gleichungen F=0 invariant lässt, denn 

 bisher haben wir nur eingesehen, dass unter den so erhaltenen Glei- 

 chungen F = die gewünschten sicher enthalten sind. Man kann in 

 der That zeigen, dass wirklich jede der gefundenen Gleichungen F= 

 bei der ganzen Gruppe invariant bleibt. Wir gehen jedoch hierauf an 

 dieser Stelle nicht weiter ein. Es ist aber noch zu bemerken, dass 

 unter allen Scharen von oo^ Curven eine existiert, die nicht durch 

 eine Differentialgleichung Sl{x, y, y) = darstellbar ist, nämlich die 

 Schar a; = Const. Es ist also immer noch zu untersuchen, ob nicht 

 auch die Schar x = Const. invariant bleibt. Dies ist offenbar dann 

 und nur dann der Fall, wenn x bei allen infinitesimalen Transforma- 

 tionen der Gruppe nur von x abhängige Incremente erhält, wenn also 

 li . . ^r sämtlich von y frei sind. 



Auch wollen wir hier nicht darauf eingehen, wie in dem Falle zu 

 verfahren ist, in dem alle z/^i identisch verschwinden. 



Das bisher Gesagte genügt für die von uns verfolgten Zwecke 

 völlig. 



1. Beispiel: Die infinitesimalen Transformationen Beispit 



p, xp + yq, x'p + 2xyq 



erzeugen, wie man leicht nach § 3 des vorigen Kapitels berechnet, die 

 dreigliedrige Gruppe: 



(x -^ a)h by 



^1 — 1 _ (a;' -[-a)c ' -^i "" (1 - {X + a)cr ' 



Hier kann nur eine Determinante zl,-ki gebildet werden, da die CJruppe 

 dreigliedrig ist, nämlich diese: 



10 1 

 X y \ = 2y\ 

 x^ 2xy 2y I 



Der Factor y kann offenbar nicht verschwinden vermöge einer 

 Differentialgleichung £l(x, y, y) = 0, die ja y enthalten soll. Wohl 

 aber bleibt die Schar x = Const. invariant : die Gruppe ist also im- 

 primitiv. 



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