Vorbereitende Bemerkungen. 211 



die einzige iu Betracht kommende Curvenschar, nämlich die der Ge- 

 raden 



^ = Const., 



die offenbar invariant ist, denn die vorgelegte Gruppe lässt den An- 

 fangspunkt in Ruhe und führt Geraden in Geraden über. Die Gruppe 

 ist somit impriiuitiv. 



Kapitel 9. 



Der Hauptsatz der Grnppentheorie für die projectiven Oruppeu 



der Ebene. 



Wir kommen jetzt zum wichtigsten Satze der Theorie der end- 

 lichen continuierlichen Transformationsgruppen, den wir allerdings in 

 diesem Kapitel nur für die projectiven Gruppen der Ebene beweisen 

 werden. Dieger Satz, der kurz der Hauptsatz heissen möge, kann all- 

 gemein so ausgesprochen werden: 



r von einander unabhängige infinitesimale Transformationen ü^f. . Urf 

 erzeugen eine r-gliedrige continuierliche Gruppe 7nit paarweis inversen 

 Transformationen, ivelche alle eingliedrigen Gruppen UdUif umfasst, 

 dann und nur dann, wenn jeder KlammerausdrucJc (UiUk) linear aus 

 Ulf. . . Urf ableitbar ist. 



Diesen Hauptsatz werden wir also im jetzigen Kapitel nur für den 

 Fall beweisen, dass U^f . . . Urf infinitesimale projective Transforma- 

 tionen der Ebene sind. Später wird er für beliebige Gruppen der 

 Ebene, an einer noch späteren Stelle für beliebige Gruppen in n Ver- 

 änderlichen bewiesen werden und zwar zuletzt durch eine rein ana- 

 lytische Betrachtung. Wenn wir jetzt im Beweise mehrere synthe- 

 tische Überlegungen benutzen, so ist dabei zu bemerken, dass sie 

 einerseits entbehrlich sind, andererseits aber an sich grosses Interesse 

 haben, indem sie ausser dem Hauptsatze zugleich andere wichtige Er- 

 gebnisse liefern. Der hier zu gebende Beweis ist also nicht frei von 

 absichtlichen Weitschweifigkeiten. 



Namentlich erhalten wir hierbei wichtige Ergebnisse in Betrefi" 

 der Differentialinvarianten, die wir in § 4 verwerten. 



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