212 Kapitel 9/ §1. 



§ 1. Vorbereitende Bemerkungen. 



Zu unserem Beweise bedürfen wir einiger Hülfsbetrachtungen, die 

 vorausgeschickt werden sollen: 



Es seien U^^f. . . Urf irgend welche r von einander unabhängige 

 infinitesimale projective Transformationen der Ebene. Die oc''"~^ ein- 

 gliedrigen Gruppen EeiUif erzeugen, wie Theorem 20, § 2 des 

 7. Kapitels lehrt, oo'' endliche Transformationen Ta, T,, . , . , die nach 

 Theorem 3 des § 4, Kap. 2, ebenfalls projectiv sind. Ihre Schar ist 

 continuierlich, enthält paar weis inverse Transformationen und auch 

 die identische. 



Es möge nun c eine Curve sein, die überhaupt keine infinitesi- 

 male projective Transformation gestattet. Werden dann auf c alle 

 oo'' Transformationen Ta, T(, . . . ausgeführt, so geht die Curve in 

 höchstens oo'" verschiedene Lagen über. Sie wird aber auch, wie wir 

 beweisen wollen, in nicht weniger als oo'" verschiedene Curven über- 

 geführt. 



Gesetzt nämlich, sie erhält nur cx)'~^ oder noch weniger Lagen, 

 so giebt es oo^ oder noch mehr Transformationen l'a, welche die 

 Curve c in ein und dieselbe Curve c^ überführen: 



Ist T eine bestimmte dieser Transformationen , so ist auch (f)T=^(c,), 

 also : 



Daher kommt: 



(c)T„r-^ = (cj. 



Es giebt somit mindestens oo^ Transformationen TaT"^, ToT—^..., 

 von denen die Curve c in sich übergeführt wird. Sie bilden offenbar 

 eine continuierliche Schar, in der unter anderen die identische Trans- 

 formation T T-^ = \ und demnach auch, infinitesimale Transforma- 

 tionen TaT—^ enthalten sind, die natürlich auch projectiv sind. Dies 

 Ergebnis, dass also c wenigstens eine infinitesimale projective Trans- 

 formation zulässt, widerspricht aber der Voraussetzung. 



Wir bemerken noch, dass auch keine der Curven Cj der Schar 

 eine infinitesimale projective Transformation Uf zulässt, da sonst wegen 



(q) = {c) T 



die Curve c die infinitesimale projective Transformation zuliesse, die \ 

 der Aufeinanderfolge von T, Uf und T-^ äquivalent ist. 



Satz 1 : Führt man auf eine Curve, die Jceine infinitesimale pro- 



