Vorbereitende Bemerkungen. 213 



jecüve Transformation gestattet, alle oo'" endlichen Transformationen aus, 

 die von r von einander unabhängigen infinitesimalen projectiven Trans- 

 formationen Uj- ■ ■ Urf und den aus ihnen linear ableitbaren UciUif er- 

 zeugt werden, so geht die Curve in gerade oo'' verschiedene Curven über, 

 deren keine eine infinitesimale projective Transformation gestattet. 

 Von diesem Satze machen wir weiter unten Gebrauch, 



Eine zweite Vorbemerkung ist diese : niffgi., du. 



'-' oiuo mf. 



Lieo-t eine gewöhnliche Differentialgleichung /**" Ordnung in x. Transform. 



o '-> " gestattet. 



ij vor: 



y(r) — (o(x, y, y- ■ y^'-^^) = 0, 



so werden wir sagen, dass sie die Punkttransformation 



Uf= |p + 7}U 



gestattet oder, was begrifflich dasselbe ist, dass ihre cx)*" Integral- 

 curven von Uf unter einander vertauscht werden, sobald Uf den 

 Grössen x, y, y'--^/''^ solche Incremente dx, dy, dy---öy^'^ erteilt, 

 dass die transformierte Gleichung 



oder also die Gleichung 



§y{r) _ ö 05 = 



nur eine Folge von y^'^ — ö = ist*). Uf nämlich erteilt die In- 

 cremente (vgl. § 3 des 4. Kap.): 

 8x = l8t, dy = 7}dt, 



Hierin ist r( der bei ÖiJ berechnete Ausdruck und die Differentiation 

 nach X die totale, bei der also j| = !/'; ^ = V" ^^^ setzen ist. So 

 kommt weiter: 



u. s. w. Irgend eine Function f von x, y, y • ■ y^''^ erfährt also bei Uf 

 bis auf den Factor dt einen gewissen Zuwachs: 



TTrf= t^f A.ri^^4-v^ -\ I- tjC-) -^ • 



^ i—^dx^^ dy^^ dy ^ ^ ^ dy^r) 



Wir sagen deshalb, die infinitesimale Transformation Uf habe, aus- 



*) Vgl. hierzu „Diffgln. m. inf. Tri'.", Kap. 16. 



