214 Kapitel 9, § 1. 



geführt auf eine Function, die auch die Differeutialquotienten enthält, 

 das Symbol Vf, und bezeichnen Vf alsdann als die r-mal erweiterte 

 infinitesimale Transformation Uf. 



Die gewöhnliche Differentialgleichung 



gestattet also Uf, wenn das Increment 



U'-{y^^) - Gi{x, y, y'-y(^-^)))dt 



vermöge yO'^ — oj = verschwindet, Das Increment t^W, das Uf dem 

 Differentialquotienten «/W erteilt, ist linear in y('\ sobald r>l ist. 

 Mithin ist vorstehender Ausdruck sicher linear in ^W und muss, da er 

 vermöge ?/(') - ra = Verschwinden soll, ein Vielfaches von 7W — « 

 oder aber identisch Null sein. Es ergiebt sich deshalb die Bedingung: 



Satz 2 : Die gewöhnliche Differentialgleichung von zweiter oder höherer 

 Ordnung 



;?/('•) — (o{x, y, ^'••^('— D) = 



gestattet die infinitesimale FunUtransformation Uf dann und nur dann, 

 wenn • 



(1) U'-{y('-^ — co)~ Q{y(r) _ 0,) 



ist. Hier hedeutet U'f die r-mal erweiterte Transformation Uf und q 



irgend eine Function von x, y, ij ■ • if'—'^\ 



S'inf" Nunmehr möge die vorgelegte Differentialgleichung noch eine 

 'SKeT''^^'^^ infinitesimale Transformation Vf gestatten, sodass analog 



wird. Der Klammerausdruck {UV) ist ebenfalls eine infinitesimale 

 Transformation. Wir werden sehen, dass die Differentialgleichung auch 

 diese zulässt. 

 Es ist 



{uv)=u{Vf)-v{uf), ■ 



und (?7F) erteilt ebenso wie C/y und Vf den Differeutialquotienten 

 y, y". . . yir) gewisse Incremente. Indem wir diese zum Symbol (UV) 

 hinzufügen, erhalten wir (UVy, d. i. die r-mal erweiterte infinitesi- 

 male Transformation (UV). Es ist dann ziemlich einleuchtend, dass 

 dieselbe sich deckt mit dem Klammerausdruck von U'-f und Vf: 



(3) {uvr = U'-{Vf)--v^{U'-f) = {u^f, Vf). 



In der That kann man dies durch Ausrechnung oder auf anderen 



