Vorbereitende Bemerkungen. 215 



Wegen streng beweisen. Wir wollen uns jedoch damit nicht auf- 

 halten *). 



Hiernach ist nun {UVy, ausgeführt auf ■i/'''^ — k>: 



also nach (1) und (2) identisch gleich: 



U'-^öiy^'-) _ c,)) _ ViQiy^'-^ — «)) 

 oder: 



Ur^ . (^(r) _„)+(? U'Xy — OJ) — V'Q • (^e-) — cd) — p F'-(?y(') — o) . 



Dies aber ist nach (1) und (2) identisch gleich 



{ü'-6 — V'-Q)(y^'-^-G)). 



Bezeichnen wir die in der ersten Klammer stehende Function, die frei 

 von ?/('■) ist, da q und 6 davon frei sind, mit r, so kommt also: 



Nach Satz 2 gestattet unsere gewöhnliche Differentialgleichung also 



auch (UV). 



Satz 3 : Gestattet die gewöhnliche Differentialgleichung 



yir)-coix, y, y--y^'-'^) = 

 die leiden infinitesimalen FimUtransformationen Uf, Vf so gestattet sie 

 auch die infinitesimale Transformation {UV). 



An Satz 2 schliesst sich noch ein Satz an, der von vornherein 

 ziemlich einleuchtend erscheint: 



Satz 4 : Gestattet die gewöhnliche Differentialgleichung SelnS" 



Sl(x,yy^^^) = ■ ^:, 



die infinitesimale Punkttransformation Uf, so gestattet sie auch jede end- 

 liche Transformation der von ihr erzeugten eingliedrigen Gruppe. 

 Sie gestattet nämlich Uf selbst, wenn die Gleichung: 



^ ' —^ cx^ ^ dy^ ^ cy' ^ ^' cy'.r) 

 vermöge ß == erfüllt wird, sobald man in ihr f durch iJ ersetzt. 

 Man kann aber U''f als eine infinitesimale Transformation der r + 2 

 VeränderHchen x, y, y ■ • y^''^ auffassen und alsdann von einem Satze 

 Gebrauch machen, der in der Theorie der eingliedrigen Gruppen be- 

 wiesen wird**), von dem Satze, dass, sobald eine infinitesimale Trans- 

 formation in beliebig vielen Veränderlichen eine Gleichung invariant 

 lässt, alsdann auch jede der von ihr erzeugten endlichen Transforma- 



*) Siehe Satz 4, § 1 des 17. Kap. der „Diffgln. mit inf. Trf." 

 **) Ebenda, Theorem 28, § 3 des 14. Kap. 



