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216 Kapitel 9, §§ 1, 2. 



tionen diese Gleichung in sich überführt. Hiernach bleibt dann Sl^O 

 auch invariant bei allen Transformationen der von Iff erzeugten ein- 

 gliedrigen Gruppe in den r -\- 2 Veränderlichen x, y, y • • i/''\ Diese 

 eingliedrige Gruppe besteht aber aus allen Transformationen, die aus 

 den endlichen Transformationen der eingliedrigen Gruppe Uf m x, y 

 allein hervorgehen, wenn man sie erweitert, d. h. die Gleichungen hin- 

 zugefügt, die ausdrücken, wie sich y^, ?/i"- • y/'") dabei als Functionen 

 von x,y, y- • ?/W darstellen*). Mithin gestattet die Differentialgleichung 

 ß = auch die eingliedrige Gruppe üf. 



sJndige Schliesslich wollen wir noch die vollständigen Systeme, die wir im 



Systeme, dritten Paragraphen gebrauchen werden, und die schon früher berührt 



wurden (im 4. Kapitel), dem Leser in aller Kürze ins Gedächtnis 



zurückrufen : 



6 lineare partielle Differentialgleichungen in x^, x.^- ■ Xn'. 



(^=1, 2--a), 



in denen die a^j gewisse Functionen von x^ • - x^ sind, heissen von ein- 

 ander unabhängig, wenn keine Beziehung von der Form: 



^^{x, ■ ■ Xn)AJ-\ [- 4,„{x, . . x,)Aof= • 



zwischen ihnen besteht, in der nicht alle f identisch Null sind. Sonst 

 nämlich würden 6 ~ l der Gleichungen die ö*^ nach sich ziehen. Sind 

 sie unabhängig und haben sie eine gemeinsame Lösung f==(p(xi- -x,,), 

 so ist mit Äkcp^O auch jedes 



{A!,Äi\ = A;,(A((p) — Ai (Ai,(p) = 0. 



Jede gemeinsame Lösung erfüllt also auch die linearen partiellen 

 Differentialgleichungen 



(^*^) = (A-,^= 1, 2-. ff). 



Entweder sind alle diese von den obigen ff Gleichungen abhängig, 

 sodass sie nichts Neues aussagen, oder aber gewisse von ihnen sind 

 von einander und von den ff gegebenen unabhängig. Im letzteren 

 Falle werden wir diese zu den Gleichungen A^ = hinzufügen. 



Das so erhaltene System von mehr als ff unabhängigen Differen- 

 tialgleichungen behandeln wir wieder so, indem wir alle Klammer- 

 ausdrücke gleich Null setzen und nur die dadurch entstehenden neuen 

 Differentialgleichungen hinzunehmen, die auch unabhängig sind. So 



*) Vgl. „DiflFgln. m. inf. Trf.", Satz 5, § 2 des 16. Kap. 



