Der eine Teil des Hauptsatzes : Die Klara merausdrücke d. inf. Trf. einer proj. Gr. 217 



fahreu wir fort. Dieser Process muss eiu Ende habeu, da es nicht 

 mehr als n von einander unabhängige lineare partielle Differential- 

 gleichungen in n Veränderlichen giebt. 



Endlich gewinnen wir also etwa r(<^u) von einander unabhängige 

 Gleichungen 



von der Art, dass jede Gleichung 



(.4,^,) = 

 von jenen abhängt, also jeder Klammerausdruck die Form !iat: 



r 

 1 



Alsdann sagt man, dass die ^/=0 ein r-gliedriges vollständiges 

 System bilden, und beweist, dass ein r-gliedriges vollständiges System 

 in w Veränderlichen gerade n — r von einander unabhängige Lösungen 

 (y^i • • (pn-r hat, jede andere Lösung also eine Function von (p^ ■ ■ qp„_^ 

 allein und andererseits jede Function von cp^ • - cpn-r allein eine Lösung 

 ist. Nur diesen Satz werden wir in der Folge aus der Theorie der 

 vollständigen Systeme benutzen. 



m 



§ 2. Der eine Teil des Hauptsatzes: Die Klammeraiisdrücke der 



infinitesimalen Transformationen einer projectiven Gruppe. 



Wir sind nun genügend ausgerüstet, unseren Hauptsatz zu be- 

 weisen, und zerlegen den Beweis in zwei Teile, die in diesem und 

 dem nächsten Paragraphen .nacheinander erledigt werden. 



Es seien UJ-'-ürf r von einander unabhängige infinitesimale 

 Transformationen einer r-gliedrigen projectiven Gruppe in x, y. Wir 

 werden zeigen, dass sich ihre Klammerausdrücke linear aus ihnen ab- 

 leiten lassen. 



Zu diesem Zwecke sei c irgend eine Curve, welche keine infini- 

 tesimale projective Transformation der Ebene zulässt. Führen wir auf 

 diese Curve alle oo'' projectiven Transformationen Ta, T(, ■ ■ ■ unserer 

 Gruppe aus, alle Transformationen also, welche den eingliedrigen 

 Gruppen EeiUif angehören, so nimmt sie nach Satz 1 des vorigen 

 Paragraphen gerade oo'' verschiedene Lagen c«, Ct • • an. Wenn wir 

 dann die Transformationen T„, T,, • • der Gruppe auf irgend eine dieser 

 Curven Ca, c* • •, etwa auf Ca, ausüben, so geht sie wieder in eine 

 Curve dieser Schar von oo'^ Curven über, denn es ist: 



