218 Kapitel 9, § 2. 



wenn Tc die Transformation der Gruppe bezeichnet, die TaT^ äquiva- 

 lent ist. 



Die Schar der erhaltenen oo'" Curven wird also durch Ta, Tf,- - in 

 sich transformiert. Sie verhält sich invariant gegenüber allen Trans- 

 formationen der Gruppe. Es gestattet also auch die Differential- 

 gleichung r*^' Ordnung 



y^'^ — (o{x, y, y'..yir)) = o, 



deren Integralcurven sie sind, alle Transformationen der Gruppe und 

 insbesondere die r infinitesimalen L\f- ■ • Urf. Nach Satz 3 des § 1 

 gestattet sie also auch alle Klammerausdrücke (UiU^). Dieselben sind 

 gewisse infinitesimale projective Transformationen. Nach Satz 4 des 

 § 1 gestattet sie auch alle von ihnen erzeugten endlichen Transfor- 

 mationen. 



Mithin wird die Schar der oo'' Curven von allen von U^f- - ■ Urf 

 und den {TJiUk) erzeugten endlichen projectiven Transformationen in 

 sich übergeführt. Nach Satz 1 des § 1 können unter diesen endlichen 

 Transformationen nur oo*" verschiedene enthalten sein. Dies wäre nicht 

 der Fall, wenn irgend eine {UiUi) nicht linear aus ÜJ--Urf ableit- 

 bar wäre, nach Theorem 20, § 2 des 7. Kap., denn UJ- ■ • Urf sind 

 ja schon r von einander unabhängige infinitesimale Transformationen. 

 Also ist jede (UiUk) linear aus UJ- • Urf ableitbar. 



Satz 5: Sind Üj^f---Urf r von einander unabhängige inßnitesi- 

 TranJorm. *^^^^ Transformationen einer r-gliedrigen projectiven Gruppe der Ebene, 

 Gru^ppe ^^ ^i jeder KlammerausdrucJc (UiUk) aus ihnen von der Form: 



r 



iUiU,)=^sCasU..f {i,Jc = l,2--r), 

 in der die Ci^s gewisse Constanten sind. 



In der ersten Abteilung haben wir, wo es nur anging, diesen 

 Satz direct an den damals betrachteten projectiven Gruppen bestätigt, 

 sodass es hier keiner neuen Beispiele bedarf. Wohl aber wollen wir 

 den Beweisgang durch ein Beispiel erläutern : 

 Beispiel. Beispiel: Die Curve 



y — sin ;r = 



gestattet keine infinitesimale projective Transformation. Denn ge- 

 stattet sie 



Uf—'^p-^-Tiq, 

 so muss 



y] — § cos X = 



Klammer 

 ausdrücke 



