Der eine Teil des Hauptsatzes: Die Klammerausdrücke d. inf. Trf. einer proj. Gr. 219 



sein vermöge y = sin x. Bei einer infinitesimalen projectiven Trans- 

 formation aber ist allgemein: 



l^a -\- ex -\- ihj -f- hx^ + lixy, 



71=1} -\- ex -\- gy -\- hxy -{- kif, 



und es müsste also 



h -{- ex -\- (j sin x + ^^^ sin x -{■ Je sin^a; — 



— {a -\- ex -{- d sin X -\- hx^ + hx sin x) cos x = 



sein für jedes x. Dies zöge jedoch a = 6 = • • = /i = nach sich. 

 — Wir dürfen also die Curve 



y — sin j; = 



als die oben mite bezeichnete Curve benutzen. 



Die vorgelegte projective Gruppe sei nun diese : 



x^ = ax-\-h, yi^cy-{-d. 



Führen wir alle ihre oo* Transformationen auf die Curve c aus, so 

 geht sie über in die Schar von oo^ Curven: 



ay -\- ß — sin (yx + d) = 0, 



in der a, ß, y, d willkürliche Constanten sind. Diese Curven sind die 

 I lutegralcurven einer gewissen Differentialgleichung 4. 0., die wir er- 

 halten durch Elimination von a, ß, y, d aus der vorliegenden und den 

 differenzierten Gleichungen : 



ay' — y cos {yx -{- d) =^ 0, 

 ay" -j- / sin {yx -{- d) = 0, 

 ay" -\- 7^ cos {yx + ^) = 0, 

 ay^^— / sin (yx -\- d) = 0. 



iEs ergiebt sich die Differentialgleichung: 



ylV 



y" 



y 



ler: 



[Sie gestattet natürlich die vier infinitesimalen Transformationen 

 U,f = p, U,f=xp, U,f-^q, UJ = yq 



[der vorgelegten Gruppe. Man kann dies leicht bestätigen, da die vier- 

 J^malige Erweiterung zunächst giebt: 



