220 Kapitel 9, §§ 2, 3. 



Setzt man hierin für f die linke Seite y'y^^ — y" y'" der Differential- 

 gleichung ein, so erhält man Ausdrücke, die entweder identisch oder 

 vermöge der Gleichung Null sind. 



Da die Differentialgleichung also Uif. . UJ gestattet, so lässt sie 

 auch die {üillk) zu. Diese sind demnach linear aus UJ'. . UJ ableit- 

 bar. Es ist nämlich: 



{U,U,)=p, {U,U,) = q, 



während die übrigen Klammerausdrücke verschwinden. 



Um das Wesentliche unseres Beweises hervorzuheben, wollen wir 

 noch als Beispiel eine Transformationenschar betrachten, die keine 

 Gruppe ist. 



Line^schar Beispiel: Wir betrachten die Schar von oc^ projectiven Trans- 



^dle'kcTnf'formationen 



bilden. Xi = X -f- tt, ^i = ^ + 03? -f" ~ > 



die keine Gruppe darstellen. Sie werden von den infinitesimalen 

 Transformationen p, xq erzeugt, und sie führen die Curve 



y — sin a; = 

 über in die Curvenschar: 



y -\- ßx + 'f— sin (x-\- a) = 0, 



deren Differentialgleichung 2. 0. durch Elimination von «, ß aus dieser 

 und den beiden differenzierten Gleichungen 



y' -{- ß — cos (x -{- cc) = 0, 

 y" -\- sin (x, + a) = 

 hervorgeht in der Foi-m: 



^{y -h y") + {x — arc sin y") (]/l — «/"2— y') = 0. 



Die Curvenschar oder also diese Differentialgleichung gestattet aber 

 die infinitesimale Transformation p nicht, denn bei p erhalten y, y, y" 

 keine Ineremente, sondern nur x wächst um öt, die linke Seite der 

 Gleichung also um 



iyi-y'-^-y')8t, 



und dieser Ausdruck verschwindet nicht vermöge der Differential- 



