Der andere Teil des Hauptsatzes: Umkehiung des Ergebnisses. 221 



gleicliung. Ebensowenig gestattet letztere, wie man ausrechnen möge, 

 xg[. Die Curve 



y — sin x = 



wird also zwar durch die oo^ von den e^p -f- c^xq erzeugten endlichen 

 Transformationen in oo^ Curven übergeführt, aber nicht jede Curve 

 dieser Schar wieder in eine Curve derselben. 



§ 3. Der andere Teil des Hauptsatzes: Umkehrung des 

 Ergebnisses. 



Es wird sich nun darum handeln, nachzuweisen, dass r von ein- 

 ander unabhängige infinitesimale projective Transformationen Uj... /J,f. 

 welche ])aarweis in Beziehungen von der Form 



r 



(4) (U^U^:^^C;,Mf 



1 



(/, Ä' = 1, 2 . . r, f/^.,, = Coli st.) 

 stehen, eine r-giiedrige Gruppe erzeugen. 



Zunächst wissen wir, dass die oo''~'^ infinitesimalen Transforma- 

 tionen ^' C/ ?7,/ insgesamt oo'—^ eingliedrige projective Gruppen mit 



oo'" verschiedenen endlichen Transformationen 2\, T,, . . . erzeugen, die 

 paarweis invers sind, (Nach Theorem 20, § 2 des 7. Kap.) Wir 

 müssen zeigen, dass alle diese T„, T^ . . zusammen eine Gruppe bilden. 



Zum Beweise erweitern wir die infinitesimalen Transformationen ('-i)-iiiaiig( 

 Vif in bekannter Weise durch Hinzunahme der Transformationen, «u.- inf. ' 

 welche die Differentialquotienten y, y"..y^''^^^ erfahren: mutiouen. 



Die r linearen partiellen Differentialgleichungen 



(5) jr.r-if^o (i = l, 2 ..r) 



in den r -j- 1 Veränderlichen x, y, y . . ■ y^'"~^'> haben nun die Eigen- 

 schaft, dass jede der Gleichungen 



welche ja auch von den Lösungen von (5) erfüllt werden, wie in § 1 

 erwähnt wurde, eine Folge von jenen ist. Denn es ist ja nach Formel 

 (3) des § 1 und nach (4) : 



1 ^ 



und dieser Ausdruck ist offenbar identisch mit: 



