222 Kapitel 9, § 3. 



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der aber vermöge (5) verschwindet. 



Aus den Gleichungen (5) lassen sich also durch Klammeroperation 

 keine wesentlich neuen Differentialgleichungen bilden. Sie stellen mit- 

 hin nach den Schlussbemerkungen des § 1 ein höchstens r-gliedriges 

 vollständiges System in r + 1 Veränderlichen x, y, y . . y^''—'^^ dar. 

 Wäre es weniger als r-gliedrig, d. h. wäre eine der Gleichungen (5) 

 eine Folge der übrigen, so würde es mindestens r + 1 — (r — 1), 

 also zwei von einander unabhängige Lösungen u{x, y . . y^''~^^) und 

 v(x, y ..y^''~^^) besitzen, sodass jede Gleichung von der Form 



V— a{u) = 



eine DijBferentialgleichung von höchstens (>• — IJ^ Ordnung darstellte, 

 die alle endlichen Transformationen T«, T^ . . der eingliedrigen Gruppen 

 2/6^ C/^/ gestattete, da ja dann mit Uf~'^ii e^O, üf~^v'^^0 auch 



wäre. Diese Differentialgleichung würde also höchstens c»*""^ Curven 

 definieren, deren Schar alle T^, T^, . . zuliesse. Es Hesse sich aber 

 durch passende Wahl der willkürlichen Function ü von u immer er- 

 reichen, dass der Schar der Integralcurven eine beliebige solche Curve 



y — i^ix) = 



augehörte, welche keine infinitesimale projective Transformation ge- 

 stattet. Denn man brauchte nur in u und v die Substitutionen 



y = ijj{x), «/'== t'(x), . . «/('•- 1) = t'-Kx) 



zu machen, wodurch sie etwa in ü(x) und v(x) übergingen und dann 

 iß so als Function vou ii = ü zu wählen, dass 



v{x) - £liü(x)) = 



wäre, was stets möglich ist, da auch die Fälle u = Const, und 

 V = Const. unter der Form v — ii (u) = enthalten sind. Alsdann 

 würden wir eine Schar von oo'""^ oder noch weniger Curven vor uns 

 haben, der diese eine Curve y — t^(a;) = angehörte, und welche die 

 oo'" endlichen Transformationen der eingliedrigen Gruppen Zßi Uif zu- 

 liesse. Aber die Curve y — ip(x) ^^ wird von diesen nach Satz 1 

 des § 1 in oo'" verschiedene Curven übergeführt, sodass sich ein Wider- 

 spruch ergiebt. 



Die Gleichungen (5) müssen folglich ein gerade r-gliedriges voll- 

 ständiges System in den r -\- \ Veränderlichen bilden, mit anderen 



