Der andere Teil des Hauptsatzes: Umkehrung des Ergebnisses. 223 



Worten : sie sind von einander unabhängig. Sie besitzen demnach 

 auch gerade mir eine gemeinsame Lösung, die wir mit J,_i(a:, y..y''~^) 

 bezeichnen wollen. Dies Ergebnis ist an sich wichtig und wir werden 

 darauf in § 4 zurückkommen. Für unseren augenblicklichen Zweck 

 dagegen ist es nicht unbedingt nötig. Es giebt aber den folgenden 

 Überlegungen mehr Klarheit. 



Wir berechnen jetzt auch die r- maligen Erweiterungen von' -^^liKe ki 



" " Weiterung 



Ulf. . . Urf und setzen sie gleich Null. Die so erhaltenen Gleichungen 'i'''- i»*" 



raus- 

 formatiou. 



(6) Urf=0 {i=l, 2..r) 



sind sicher von einander unabhängig, da schon die Gleichungen (ö) 

 von einander unabhängig sind. Auch ist nach Formel (2) des § 1 

 und nach (4) jeder Klammerausdruck: 



r 

 1 



Die Gleichungen (6) bilden mithin ein r-gliedriges vollständiges System 

 in r -\- 2 Veränderlichen a-, y . . y'-'K Es besitzt zwei von einander 

 unabhängige Lösungen. Eine Lösung ist die obige Jr—i, die frei von 

 ?/('■) ist, denn die C/,'"/' reducieren sich auf die Ui'"~'^f, wenn /"frei von 

 y''~^> angenommen wird. Eine zweite von Jr-i unabhängige Lösung 

 von (6) sei Jr(x, y . . y'^''^). Sie ist sicher nicht frei von y'-''^ da sie 

 sonst auch (5) erfüllte. 

 Jede Gleichung 



Jr.— £liJr-l) = 



stellt nunmehr eine bei unseren oo'" endlichen Transformationen Ta, 

 Tb . . invariante Differentialgleichung von sicher r'"'' Ordnung dar, und 

 wie vorhin können wir durch passende Wahl der Function ß von 

 Jr—i erreichen, dass zu ihren oo'" Integralcurven eine beliebig gewählte 

 Curve c oder y — ip^x) == gehört, die keine infinitesimale projective 

 Transformation gestattet. Weil diese Curve c nach Satz 1 des § 1 

 durch die oo'" endlichen Transformationen Ta, Tb . ., die von L\f... Urf 

 erzeugt werden, in gerade oo'" verschiedene Curven übergeführt wird, 

 und weil die Schar der oo'" Integralcurven der Differentialgleichung 

 die Ta, Tb '. . gestattet, so besteht diese Schar gerade aus den oo'" 

 Curven, in welche jene bestimmte Curve c durch die Ta, Tb . . ver- 

 wandelt wird. Keine dieser Curven gestattet nach Satz 1 des § 1 eine 

 infinitesimale projective Transformation. 



Nehmen wir nun — entgegen dem zu Beweisenden — an, dass ^^^^^'J"''^ 

 die T„, Tb . . keine Gruppe bilden. Alsdann ist nicht jede Aufeinander- eigenschrrt. 



