224 Kapitel 9, § 3. 



folge Tal\ einer Transformation der Schar äquivalent. Bilden wir 

 alle Aufeinanderfolgen TaTi,, so erhalten wir eine continuierliche Schar 

 von Transformationen T' . Diese Schar enthält paarweis inverse Trans- 

 formationen, da zu T«Ti ja T-^Ta~'^ invers ist und die T-^ der 

 Schar der ursprünglichen T augehören. Weil diese Schar der T auch 

 die identische Transformation enthält, so enthält die Schar T' auch 

 alle T, denn wir brauchen nur in TaTi die T^ = 1 anzunehmen, um 

 Ta ZU erhalten. 



Wenn nun die T' auch keine Gruppe bilden, so stellen wir die 

 Schar aller Transformationen T" her, die den Aufeinanderfolgen je 

 zweier T' äquivalent sind. Auch diese T" bilden eine continuierliche 

 Schar. Sie enthalten die T uud die T und sind paarweis invers. 



So fahren wir fort, wenn auch die T" noch keine Gruppe bilden. 

 Jedenfalls ist die Schar der T' grösser als die der T, die der T" 

 grösser als die der T' u. s. w. Die T' sind also mindestens cx^'+^, 

 die T" mindestens 00'+^ Transformationen u. s. w. Andererseits aber 

 sind die T, T" . . . sämtlich projectiv, uud es existieren bekanntlich 

 nur 00*^ verschiedene projective Transformationen in der Ebene. Also 

 müssen wir notgedrungen nach einer endlichen Anzahl von Fort- 

 setzungen des angegebenen Verfahrens einmal zu einer continuierlichen 

 Schar gelangen, etwa zur Schar der T^'-^\ derart, dass die T^c' + D^ d.h. 

 die den Aufeinanderfolgen je zweier T^^^ äquivalenten Transformationen 

 keine grössere Anzahl bilden als die T^^^ selbst, dass also die Schar 

 der T(i'+i) mit der Schar der T^^^ zusammenfällt, dass folglich die 

 Aufeinanderfolge zweier T^?' wieder eine T^?) giebt, kurz, dass die T^'^'^ 

 eine Gruppe bilden. Es ist dies alsdann eine continuierliche projective 

 Gruppe mit paarweis inversen Transformationen, und — bei 5er ge- 

 iiiachten Annahme — mit mehr als oo'" Transformationen, somit eine 

 mindestens (r + l)-gliedrige Gruppe. Dieselbe besteht aber aus allen 

 endlichen Transformationen, die von mindestens r -{- \ von einander 

 unabhängigen infinitesimalen projectiven Transformationen und deren 

 linearen Ableitungen erzeugt werden, nach Theorem 21, § 2 des 7. Kap. 



Diese mindestens 00''+^ projectiven Transformationen T'^^^ lassen 

 nun, wie die T, die T' u. s. w. die Schar der oo'" Integralcurven un- 

 serer Differentialgleichung invariant. Keine dieser oo'' Integralcurven 

 aber gestattet eine infinitesimale projective Transformation. Daher 

 geben die T^^') auf eine dieser Curven ausgeführt nach Satz 1 des § 1 

 mindestens 00'"+^ Curven und nicht, wie es sein muss, nur jene oo** 

 Integralcurven. Wir stossen hiermit auf einen Widerspruch. 



Die gemachte Annahme ist also falsch: Die T selbst bilden dem- 

 nach schon eine Gruppe. Damit haben wir gefunden: 



