Der andere Theil des Hauptsatzes: Umkehrung des Ergebnisses. 225 



Satz 6 : Stehen r von einander unabhängige infinitesimale projective 

 Transformationen Uyf. . . Urf der Ebene paarweis in Beziehungen von 

 der Form: 



r 



iU,U,) = ^sCn.Usf ii,k = l,2..r), 

 i 



in der die Ciks Constanten sind, so bilden die von den oo'"— ^ infinitesi- 

 malen Transformationelt U e,; Uff erzeugten endlichen Transformationen 

 eine r-gliedrige Gruppe mit paarweis inversen Transformationen. 



Vereinigen .wir diesen Satz mit dem des vorigen Paragraphen, so Hauptsatz 

 ergiebt sich das als Hauptsatz für die projectiven Gruppen der Ebene (inii)peu 



, ., , . (lor Ebene. 



angekündigte 



Theorem 22: r von einander unabhängige infinitesimale 

 projective Transformationen ü^f. . . Urf der Ebene erzeugen dann 

 und nur dann eine r-gliedrige Gruppe mit paar weis inversen 

 Transformationen, wenn die Uif paarweis in Beziehungen stehen 

 von der Form 



r 



iUiUk) = ^sCasU/ (i,h=l,2..r), 

 in der die Ca, Constanten sind. 



Der Beweisgang soll durch ein Beispiel erläutert werden. 



Beispiel: Vorgelegt seien ^,^.^^^.^^ 



UJ~p, U^f:^zq, U^fi^xp, UJ=yq. 

 Da 



{U,U,) = 0, iu,u,)-:^uj- {U,U,)-^0, 

 {u,u,) = o, (u,u,)= üj; 



WU,) = 



ist, so sind die Voraussetzungen des Satzes 6 erfüllt. Es ist hier 

 /* = 4, und wir bilden daher das viergliedrige vollständige System: 



TTlVf=z ^ _n 



^' 1— dx — ^' 



U^Y^ X '/ - y'f,-22,"#4- 3/"/4-4^-^ = 0, 

 ^ ' dx ^ drj dy -^ dy -^ dy^^ ' 



^* I —y dy^y dy^ ^ dy" ^ ^ dy" + ^ a^/iv — ^ 



in den 6 Veränderlichen x, y, y, y", y", y^"^ und mit zwei Lösungen 

 Jg, J4, deren erste frei von 1^^ ist, während die zweite y'^ enthält. 



Lie, Continuierliche Gruppen. 15 



