226 Kapitel 9, §§ 3, 4. 



Die beiden ersten Gleichungen zeigen, dass Jg und J^ frei von x und 

 y sind. Es bleibt also noch zu erfüllen: 



y" #4 +2^'" /4 + ?^y^-M= = 0, 

 Es kann also 



"3 — y"2 7 ^A y" 3 



gesetzt werden. Die invariante Differentialgleichung 4. 0. lautet dem- 

 nach : 



^(^) = 0. 



y 



Hier kann Sl so gewählt werden, dass z. B. die schon in den Bei- 

 spielen des § 2 gebrauchte Curve 



y = sin X 

 zu den Integralcurven gehört. Wir setzen daher 

 y = smx, y = coax, y' = — sin a;, «/'"= — cos a;, i//^=sina; 

 ein und erhalten 



sin'' X \ sin^ xJ 



Es ist also S 



ß(w)EEEM ^ 



anzunehmen, so dass die gewünschte Differentialgleichung lautet : i 



oder 



' TV " "' r\ << 



.5 



Ihre oo* Integralcurven, die wir übrigens schon im ersten Beispiel des i 

 § 2 kennen lernten, gestatten keine infinitesimale projective Trans- 

 formation. Die grösste projective Gruppe also, welche sie unter ein- 'i 

 ander vertauscht, hat nach Satz 1 des § 1 höchstens 4 von einander 

 unabhängige infinitesimale Transformationen. Es sind dies j^), x}), q, \ 

 yq, welche die Gruppe | 



Xi==ax-i-b, y^^cy-\-d j 



erzeugen. 1 



1 



! 



§ 4. Nachträgliche Bemerkungen zum Hauptsatze. — Differential- 



invariauten. 



Früher, in § 3 des 7. Kap., haben wir die Redeweise: „Gruppe 

 Ulf. . . Urf" eingeführt. So lange es sich um projective Gruppen dei 



