Nachträgliche Bemerkungon zum Hauptsatze. — DiflFerentialinvarianten. 227 



Ebene handelt, ist es nun nach unserem Hauptsatze klar, dass diese 

 Bezeichnung dann und nur dann einen Sinn hat, wenn jeder Klammer- 

 ausdruck {UiUk) linear aus C/^ f. .. ^J^/" abgeleitet werden kann. 



Wir wollen ferner nicht unterlassen, darauf aufmerksam zu machen, j^^^"",^^' 

 dass die in §§2, 3 gegebene Beweismethode sich ohne Schwierigkeit de^■^^e^^■|M^ 

 so abändern lässt, dass sie für einen viel allgemeineren Fall zum Be- 

 weise des Hauptsatzes ausreicht: 



Angenommen nämlich, es liegt eine jo-gliedrige Gruppe Gp der 

 Ebene vor, von der wir wissen, dass ihre infinitesimalen Transforma- 

 tionen Ulf. . . Upf Klammerrelationen von der Form 



1 



(i, k = 1, 2 . .p, yu-, = Const.) 



erfüllen, und es sind insbesondere U^f . . . Urf irgend welche r (< q) 

 von einander unabhängige infinitesimale Transformationen von Gp, so 

 erzeugen auch sie dann und nur dann für sich eine r-gliedrige Gruppe, 

 also eine r-gliedrige Untergruppe gr der Gruppe Gp, wenn ihre 

 Klammerausdrücke sich ans ihnen selbst linear ableiten lassen. Der 

 wesentliche Unterschied zwischen dem hierzu nötigen Beweis und dem 

 früheren ist der, dass überall, wo damals von einer projectiven Trans- 

 formation die Rede war, von einer Transformation also, welche der 

 allgemeinen achtgliedrigen projectiven Gruppe Gg der Ebene angehört, 

 hier allgemein eine Transformation der Gruppe Gp gesetzt werden 

 muss, dass also an die Stelle der G^ eben diese Gp tritt. Hält man 

 dies fest, wählt man also unter anderem jene Curve c so, dass sie 

 keine infinitesimale Transformation der Gp gestattet, so ist die Über- 

 tragung der früheren Beweise auf den jetzigen allgemeineren Fall nicht 

 schwer. Wir gehen jedoch auf die Einzelheiten hier nicht weiter ein, 

 weil der Hauptsatz für beliebige Gruppen der Ebene später besonders 

 bewiesen werden soll. 



Wir wollen nur das Eine bemerken, dass Satz 1 des § 1 sich 

 ebenfalls unmittelbar so verallgemeinern lässt: 



Satz 7 : Führt man auf eine Curve , welche keine infinitesimale 

 Transformation einer p-gliedrigen Gruppe Gp der Ebene gestattet, aJle 

 cx)*" endlichen Transformationen aus, welche von irgend ivelchen r {<p) 

 von einander unabhängigen infinitesimalen Transformationen der Gruppe 

 Gp und den aus ihnen linear ableitbaren erzeugt werden, so geht die Curve 

 in gerade oo'" verschiedene Curven über, deren Inbegriff jene oo*" Trans- 

 formationen gestattet, während keine der oo'' Curven für sich. eine infini- 

 tesimale Transformation der Gp zvlässt. 



15* 



