228 Kapitel 9, § 4. 



In § 3 sind gewisse Functionen Jr-i und J,. aufgetreten. Sie ent- 

 hielten X, y und die Diiferentialquotienten y, y" . . . und waren in- 

 variant gegenüber allen infinitesimalen und also auch allen endlichen 

 Transformationen der Gruppe UJ...Urf. Wir nennen sie daher 

 ^^^"^^^^"i^JDifferentialimanantm*) der Gruppe (vgl. § 3 des 4. Kap.). Jr heisst, 

 da sie «/('"^ wirklich enthält, eine Differentialinvariante r""" Ordnung. Die 

 Differentialinvariante Jr—x enthält tß^ nicht und braucht übrigens auch 

 ?/('"-i) nicht zu enthalten, sondern kann von niederer als (r -^ 1)*®'' 

 Ordnung sein, wie das Beispiel der Gruppe 



U,f= x'p + xyq, UJ= xyp + y'q 

 lehrt, in der 



und r = 2 ist. Denn hier wird das zweigliedrige vollständige System 

 p/Tee .' H + .yli + (y- .y) § - 3x," ^ = 0, 



IVr^xyll + ,' IJ + y(, - xj,')/^ - »xyYM. = 

 erfüllt durch 



^ X ' 2 {y — xy')'"^ 

 Ji enthält aber y nicht. 



Wir bewiesen oben, dass, wenn Uif. . . Urf erstens von einander 

 unabhängig sind, zweitens paarweis in den Beziehungen 



(4) {üiU,) = ^CnsU4' 



*) Die Integrationstheorien der älteren Mathematiker beziehen sich, wie Lie 

 zuerst (1870) bemerkte — man vergleiche die „Diffgln. m. inf. Trf/' an mehreren 

 Stellen — , immer auf Differentialgleichungen, die alle Transformationen einer 

 Gruppe gestatten. Bewusst machen wohl erst Gauss, Minding, Lame, Cayley, 

 Beltrami, Christoffel (1870) und Lipschitz (1870) von Differentialinvarianten 

 Gebrauch. In den Jahren 1870 — 74 entwickelte Lie allgemeine Integrations- 

 theorien für Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten, und begründete 

 gleichzeitig (Dec. 1872) eine vollständige Invariantentheorie der unendlichen 

 Gruppe aller Berührungstransformationen, sowie (1878) eine Invariantentheorie der 

 Gruppe aller Punkttransformationen. In den Jahren 1879-83 haben Laguerre 

 und Halphen eine Invariantentheorie für eine andere wichtige unendliche Gruppe 

 entwickelt. Endlich skizzierte Lie (1882—84) eine allgemeine Invariantentheorie 

 aller continuierlichen Gruppen. Seit 1885 beschäftigen sich viele englische Mathe- 

 matiker mit der Berechnung von Differentialinvarianten, ohne doch ihre Theorie 

 erheblich zu fördern. Dagegen haben in den letzten Jahren mehrere französische 

 Mathematiker nicht unwichtige Beiträge zu dieser Theorie geliefert. 



