Nachträgliche Bemerkungen zum Hauptsatze. — DiflFerentialinvarianten. 229 



stehen und dritteus projectiv sind, alsdann die durch (r — 1)- malige 

 Erweiterung entstehenden Gleichungen 



(5) Ui'-'f^O [1 = 1, 2.. r) 



von einander unabhängig sind und ein r-gliedriges vollständiges System 

 in den r -j- 1 Veränderlichen x, y, y . .y^''~^^ bilden, folglich auch ge- 

 rade eine Lösung Jr—i besitzen. Jener Beweis gilt nun auch, wenn 

 die dritte Voraussetzung, dass die üif projectiv seien, fallen gelassen 

 wird, dagegen aber der Hauptsatz allgemein als bewiesen angenommen 

 wird, dass nämlich unter den beiden übrigen Voraussetzungen die üif 

 eine /--gliedrige Gruppe Gr erzeugen. Denn: Sind die Gleichungen 

 (5) von einander abhängig, so bilden sie, da aus (4) und aus Formel 

 (3) des § 1 



{Ur-'U,'-')=^CiU's'-'t' 



folgt, ein höchstens (r — Ij-gliedriges vollständiges System in /' + 1 

 Veränderlichen und haben somit mindestens zwei von einander unab- 

 hängige Lösungen ii, v, die Functionen von x, y, y • • //^'~^^ allein sind. 

 Alsdann sei 



y — if{x) = 



eine Curve, welche keine infinitesimale Transformation Z'c,- C/,/' zulässt. 

 Es lässt sich voraussetzen, dass weder u noch v gleich Constaus wird, 

 wenn darin 



y = '4>{x), y'=tl;'{x), • • ?/('— i) = i^»— i(a;) 



gesetzt wird. Dann kann il{i() stets so als Function von u gewählt 

 werden, dass die Curve y = il^{x) zu den Integralcurven der Differen- 

 tialgleichung 



V — Sl(;u) = 



gehört. Diese Gleichung aber ist von höchstens (r — 1)*®'" Ordnung 

 und besitzt demnach höchstens oo'"— ^ Integralcurven. Da ti und v bei 

 den UeiUif und den von ihnen erzeugten oo'" endlichen Transforma- 

 tionen der Gruppe Gr invariant sind, so ist 



V — Sl{u) = 



eine bei diesen ebenfalls invariante Differentialgleichung. Ihre höch- 

 stens oo'"~^ Integralcurven bilden mithin eine invariante Schar, der 

 die Curve y = ip{x) angehört. Nach Satz 7 aber geht diese Curve 

 bei allen Transformationen der Gr in oo'" Lagen über, und dies ist ein 

 Widerspruch. 



Also sind die Gleichungen (5) von einander unabhängig: Sie 



