230 Kapitel 9, § 4. . 



bilden ein r-gliedriges vollständiges System mit nur einer Lösung 

 Jr—i, die, wie bemerkt, auch von if''"'^^ frei sein kann. 



Das aus den A-mal erweiterten infinitesimalen Transformationen 

 gebildete Gleichungensystem 



. (7) ■ f//-/-=0 {i=\,2--r) 



kann, wenn A < r — 1 ist, auch Lösungen haben, die aber offenbar 

 auch das System (5) erfüllen, also sich auf Jr—i reducieren. Ist z. B. 

 Jr—i von if''~^^ frei, so hat das vorliegende System auch für l = r — 2 

 die Lösung //— i. Es existiert also nur eine Differentialinvariante 

 J,—i von niederer als r*®'^ Ordnung. Das System (7) ist für A = r-f-l 

 ein r-gliedriges vollständiges System in r-f- 2 Veränderlichen x^y-y'^''^ 

 und hat somit nur zwei von einander unabhängige Lösungen, als deren 

 eine Jr—i gewählt werden kann, während die andere, Jr, sicher y^''^ 

 enthält. Für X = r-{-2 stellt (7) ein r-gliedriges vollständiges System 

 in r -(- 3 Veränderlichen vor, das also drei von einander unabhängige 

 Lösungen besitzt, nämlich Jr—i, Jr und eine y'^''+^'> enthaltende Lösung 

 Jr-\-2- So kann man weiterschliessen. Es ergiebt sich also: 



Satz 8: Nimmt man das Theorem 22 auch für nicht - projective 

 Gruppen der Ebene als bewiesen an, so folgt: Eine r-gliedrige Gruppe 

 Ulf- ' • TJrf der Ebene besitzt nur eine Differentialinvariante Jr—i von 

 niederer als r^^^ Ordnung. Ferner besitzt sie je eine Differentialinvariante 

 Jr, J, + i • • von gerade r'*'", (r -\- l)'*"" • • • Ordnung derart, dass jede 

 Differentialinvariante (r-f-s)'*'' Ordnung eine beliebige Function vonJ, — i, 

 Jr, Jr+1 ■ 'Jr+s ist. Jr—1 ikann auch von niederer als {r — 1)'*'" Ord- 

 nung sein. 



Ableitung Es ist leicht zu erkennen, dass man Jr+i, Jr+-2 • • durch Differen- 



rler höliorou .. iii x iTij. 



Differential- tiationsprocesse allein angeben kann, sobald man Jr—i und J^ kennt. 



invarianten ■> -r r-.-r<n • t • • ^ iimt T~vja? 



durch Denn da Jj—i und Jr Differentialinvarianten sind, so bleibt die Uineren- 



Differontia- . , , . , 



tion. tialgleichung 



Jr — aJr—i — b = 



ebenfalls bei der Gruppe invariant. Es ist dies eine Differential- 

 gleichung r*^' Ordnung mit oo'' Integralcurven, deren Schar invariant 

 ist. Geben wir der Zahl b einen anderen Wert, so erhalten wir eine 

 andere invariante Curvenschar. Wird b variiert, so entstehen also oo^ 

 Scharen von je oo'' Curven, sodass jede Schar durch die Transforma- 

 tionen der Gruppen in sich übergeführt wird. Also ist auch die Ge- 

 samtheit aller dieser 00*"+^ Curven bei der Gruppe invariant. Ihre 

 Differentialgleichung ergiebt sich, indem wir durch Differentiation aus 

 der obigen b entfernen, in der Gestalt: 



