Nachträgliche Bemerkungen zum Hauptsätze. — Differentialinvarianten. 231 



dJr dJr — 1 A 



-^ a --, — == 0. 



dx dx 



Hierin ist die Differentiation nach x total, also ^i^ = y "• s. w, anzu- 

 nehmen. Jede Differentialgleichung (r -f 1)**='^ Ordnung: 



dJr 



dx 



dJr — 1 



dx 



== a 



ist mithin invariant, wie auch die Zahl a gewählt sein mag. Mithin 

 ist die linke Seite für sich invariant, d. h. es ist jener Bruch oder also 



dJr 

 dJr—1 



eine Differentialinvariante (r + 1)*"' Ordnung, sodass 



j- dJr 



^'■+^-'-dj;rr, 



gesetzt werden darf. Analog kann 



d'-Jr 

 ^'- + 2 ^ T/ Jr - 1 — ~d'Jr - 1 



alls'emein 



dx^ 



d^'Jr 

 dJr+p — 1 <l^t^^ 



dxP 

 gesetzt werden. 



Satz 9: Kennt man von den in Satz 8 erwähnten Differential- 

 invarianten die beiden ersten Jr-i und J,, so Jcennt man sofort alle. Es 

 darf nämlich gesetzt werden : 



oder allgemein 



^'•+^ = d~Jr-l' '■ + ' ~ dJr-l' 



_ dxP _ d^/^ 



dxP 

 1. Beispiel: Die oo'^ infinitesimalen Transformationen: Beispiele 



(ßi + e.a; + e.^x^)q, 

 die aus q, xq, x^q linear ableitbar sind, erzeugen, wie man leicht 

 bestätigt, eine dreigliedrige Gruppe, x wird nämlich gar nicht trans- 

 formiert, während y immer um {c^ -f e.,x + e^x')8t wächst, sodass 

 die erzeugten endlichen Transformationen lauten: 



