232 Kapitel 9, § 4. 



und dies ist eine Gruppe. Ferner ist hier {q, xg)E^O, (q, x^q) = 

 (xq, x^q) = 0, also der Hauptsatz erfüllt. Endlich ist r = 3. Um 

 die beiden ersten Dififerentialiuvarianten J^ und J, zu erhalten, bilden 

 wir durch dreimaliges Erweitern von q, xq, x^q die Gleichungen: 



dy ^' 



dy dy ' 



x^lL_2x^J\-2it,=.0 

 ^y cy dy' 



Offenbar ist die von ij" freie J^ gleich x zu setzen und J, gleich y'" . 

 So kommt : 



J,=X, J, = y", J^^'tjl^yTY^ 



Die Differentialinvariante J.^ ist nicht von zweiter, sondern nur von 

 Qter Ordnung. 



2. Beispiel: Bei der dreigliedrigen Gruppe der Bewegungen fanden 

 wir in § 3 des 4. Kap. die Differentialinvariante: 



(1 + y'')i 



und als allgemeinste invariante Differentialgleichung 3. 0. diese: 



wo r den Krümmungsradius, also J-, und ds das BogenelementyT+7^^rfa; 



bedeutet. Also ist auch f^' oder ^, d. h. - f^ '-^ Differential- 



ds ''2 ^* 



invariante dritter Ordnung. Da J, selbst schon invariant ist, kann also 



j ^^'L^ = y"'0- + y") - ^yy"^ 



^ ds (1 -f- 2/'«)3 



gesetzt werden. Nun ist nach Satz 9: 



d^, dH 



j- __ (iJa __ dx^ 1 dx^ 



* dJ^ dJ^ ' ds 



dx dx 

 u. s. w. 



\dx) 



