Nachträgliche Bemerkungen zum Hauptsatze. — Differentialinvarianten. 2o3 



Schliesslich soll noch erwähnt werden, dass der Hauptsatz der uer Haupt- 

 satz für dip 



Gruppentheorie auch für die projediven Gruppen der Geraden gilt, doch projectiveu 

 können wir dies nicht wie die Übertragung anderer Sätze in der zumder uoradeu. 

 Schluss des 7. Kapitels angegebenen Weise thun, weil sich dadurch 

 keine p-ojectiven Gruppen der Ebene ergeben würden. Wir schliessen 

 vielmehr so : 



Jeder r-gliedrigeu derartigen Gruppe Gr entspricht eine r-gliedrige 

 Untergruppe F,. der speciellen linearen homogenen- Gruppe der Ebene, 

 wie an mehreren Stellen des Kap. 5 ausgeführt wurde. Ist 



Uif^ {Ci — 2aiX — hiOr)p 



eine infinitesimale Transformation von Gr, so ist nach der Schluss- 

 bemerkung des Kap. 5 : 



F/= {üiX -f- h;\j)p + {CiX — aiy)q 



die entsprechende infinitesimale Transformation der Gruppe Fr. Für 

 letztere aber gilt der Hauptsatz. Sind also VJ'- • • Vrf (>' < 3) unab- 

 hängige infinitesimale Transformationen der Gruppe F,, so ist jedes 



{ViV,)=^CasV,f. 



Mau kann sich nun durch Ausrechnung davon überzeugen, dass die 

 infinitesimale Transformation Uf der Gruppe Gr, welche der infinitesi- 

 malen Transformation {ViVk) der Gruppe F entspricht, mit {UiUk) 

 identisch ist. Daraus folgt dann sofort, dass auch 



1 

 sein muss. 



Wenn umgekehrt UJ'- ■ - Urf{r ^'d) unabhängige infinitesimale 

 projective Transformationen der Geraden sind, für die 



>• 



(UiU,)EE^sCi,.Uf 

 1 



ist, so ist auch entsprechend 



r 



{V,r,)=^^easV/, 

 1 



d. h. V^f--- Vrf erzeugen eine r-gliedrige projective Gruppe F,. 4er 

 Ebene. Ihr entspricht eine r-gliedrige projective Gruppe 6r,. der Ge- 

 raden, welche die r infinitesimalen Transformationen UJ • • • Urf ent- 

 hält und also von ihnen erzeugt wird. 



