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Kapitel 9, § i, Kapitel 10^ § 1. 



Natürlich sind hierbei unter Gruppen immer endliche continuierliche 

 Gruppen mit paarweis inversen Transformationen zu verstehen. 

 Wir können also sagen : 



Satz 10 : Das Theorem 22, d. h. der Hauptsatz der Gruppentheorie, 

 gilt mich für die projectiven Gruppen der Geradeti. 

 idSmmimg Beispiel: Als Anwendung hierzu wollen wir die früher in einer 

 "^"p^pen J^'^ussnote (in § 2 des 5. Kap.) versprochene Bestimmung der Gruppen 



Gruppe 



er Geradeu.^gj. Geraden durchführen. 



Die dreigliedrige Gruppe ist die bekannte: 



p xp 



x^p 



Es handelt sich um die Bestimmung ihrer Untergruppen, 



Ist Uf, Vf eine zweigliedrige Untergruppe derselben, so sind alle 

 aUf -\- hVf infinitesimale Transformationen dieser Untergruppe, und 

 unter diesen giebt es offenbar sicher eine, die nur einen (doppelt- 

 zählenden) Punkt in Ruhe lässt. Durch Ausführung einer passenden 

 projectiven Transformation der Geraden, welche die Untergruppe in 

 eine gleichberechtigte verwandelt, lässt sich diese infinitesimale Trans- 

 formation, wir wir wissen, in ^ überführen. Es seien also: 



p, Xp -f ^ixp 4- vx^p 



zwei infinitesimale Transformationen der Untergruppe. Offenbar darf 

 A = () gesetzt werden. Ferner giebt die Klammeroperation iip-\-2vxp. 

 Diese muss sich aus den beiden obigen linear ableiten lassen: 



Daher ist 



^p + ^vxp ■=. CiP + c^iit'Ocp -\- vx^p). 



m = c. 



2v == c^^, = Cg V . 



Ist 0-2 4" 0, so ist also v == und fi = 0, was ausgeschlossen ist. 

 Folglich muss e^ = sein, also auch v = 0, so dass als einziger 

 Typus kommt — da dann ^ = 1 gesetzt werden kann : 



p, xp 



Die Bestimmung der eingliedrigen Untergruppen 



geschieht wie früher, (Vgl. §§ 1 u. 2 des Kap. 5.) 



