Die Gruppe der Parameter einer bei einer Gruppe invarianten Curvenschar. 235 



Kapitel 10. 

 Cnrvenscharen, die eine Ornppe gestatten. — Die Dualität. 



Im vorigen Kapitel haben wir Scharen von oC Curven ins Auge 

 gefasst, welche eine r-gliedrige projective Gruppe gestatteten. Doch 

 geschah dies nur in Form einer gelegentlichen Hülfsbetrachtung. 



Nunmehr werden wir genauer auf Scharen von Curven zu sprechen 

 kommen, die irgend eine — also nicht gerade notwendig eine pro- 

 jective — Gruppe zulassen. Alsdann werden uns die gewonnenen An- 

 schauungen zu dem für die projectiven Gruppen wichtigen Begriff der 

 Dualität führen. 



§ 1. Die Gruppe der Parameter einer bei einer Gruppe invarianten 



Curvenschar. 



Scliar vui 



Eine Gleichung oc-curvti 



(1) ^(oc, ö, dl' ■ a,u) = 0, 



in der m Parameter »i • • a« auftreten, stellt unendlich viele Curven 

 dar und zwar gerade cx)"' von einander verschiedene, wenn alle m 

 Parameter ivesenÜich sind. Um bei vorgelegter Gleichung (1) zu ent- 

 scheiden, ob alle Parameter wesentlich sind oder nicht, setzen wir an: 



und 



Sl{x, y, hl • ' h,n) = 



und fragen uns, welche Functionen b^ ■ ■ h», von a^ ■ ■ a,„ allein sein 

 müssen, damit die zweite Gleichung eine Folge der ersten wird für 

 jedes X. Zu diesem Zweck werden wir aus der zweiten Gleichung ver- 

 möge der ersten y eliminieren und dadurch eine Relation 



W{X, % • • am, \ • • &m) = 



erhalten, die wegen der Veränderlichkeit von x in eine Anzahl von 

 Gleichungen zerfallen kann, die von x frei sind. Lassen sich alle diese 

 nur durch 



&j = «1, 1)2 = 0"i, ' ' bm = dm 



und keine anderen von x freien Werte der h erfüllen, so sind alle m 

 Parameter in der Curvenschar (1) wesentlich. Ebenso, wenn es zwar 

 mehrere, ja sogar, wenn es unendlich viele Wertsysteme der h^ ■ • h,,, 

 giebt, welche die Relationen erfüllen, wenn nur diese Wertsysteme 

 keine continuierliche Schar bilden, sondern discret verteilt sind. Bilden 



