Die Gruppe der Parameter einer bei einer Gruppe invarianten Curvcnschar. 237 



formation (2) oder tvird durch diese in sich ühergeführt dann und nur 

 dann, wenn es solche Functionen A^ • • A,u von a^ ■ • a,„ gieht, dass die - 

 Gleichung (1) vermöge: 



(4) x^ = (p{x, y), t/i = ^{x, y), «/ = A^ia^ • ■ a,n), • ■ a,n = Arr,{a^ --an) 



in die Gleichung (3) übergeht, wenn also die Gleichung (1), aufgefasst 

 als Gleichung zwisclien m -\- 2 Veränderlichen x, y, a^ • • a«, die Trans- 

 fortnation (4) gestattet, welche x, y, a, • • a,„ in x^, y^, a^' ■ ■ a,„ ver- 

 wandelt. 



Die durch Elimination von x, y, a^ ■ • a^ aus (1) vermöge (4) 

 hervorgehende Gleichung braucht übrigens nicht direct die Form (3) 

 zu haben, sondern ist unter Umständen erst umzuformen. 



Liegt nun nicht eine einzelne Transformation (2), sondern eine «nippo. 



,. j . rrt r ,• ausgeführt 



r-gliedrige iransformationsgruppe : auf eiue 



Curven- 



(5) x^ = (p(x, y, e^-- er), y^ = t(as, rj, e^ ■ - Cr) "''"'"■ 



vor, so gestattet die Curvenschar (1) diese Gruppe, d. h. jede Trans- 

 formation der Gruppe, weim sich für jedes Wertsystem der Coustanten 

 Ci • ' Cr solche Functionen 



ßj = -4j (^öfj • • am) ' • • arn = ^m(ßj • • ttm) 



, angeben lassen, wie oben. Im allgemeinen werden dann aber die 

 Ai ■ ■ Arn verschiedene Functionen sein für verschiedene Wertsysteme 

 e^ ■ • Cr, sie werden mit anderen Worten auch von e^ • • Cr abhängen. 

 Also: 



Satz 1 : Die Schar von oo"* Curven 



il{x, y, tti ' • ttm) = 



gestattet dann und nur dann die r-gliedrige Gruppe 



^1 == 9P(«; y, ^1 • • Cr), yy = t(x, y, e^- ■ e,), 



wenn es solche Functionen A^- • Am von «j • • a,„ tmd Cy • • Cr giebt, dass 

 die Gleichung 



Sl{x, y, a^' ■ am) = 



zwischen den m -{- 2 Veränderlichen x, y, a^- • am alle Transformationen: 



|ö/ = ^i(«i • • am, e^ --Cr), •••am = ^,«(«1 • • am, e, • • e^) 



dieser m -f- 2 VeränderlicJien zulässt. 



Beispiel : Die Schar aller oo^ Kreise : Beispiel. 



{x — a,)- -\-{y — a.,f -f «^ = 



