238 Kapitel 10, § 1. 



gestattet, wie geometrisch einleuchtet, die zweigliedrige Gruppe aller 

 Translationen 



Zum analytischen Nachweise suchen wir a/, a./, %' so als Functionen 

 von üi, »2, «3 und e^, e^ zu bestimmen, dass 



■ {x^ — a^f + (^1 — a.;Y -f Ö3' = 

 oder 



{x -\-e^ — a;f -\r {y -\-e^ — a^f + %' = 



eine Folge der obigen Kreisgleichung wird für jedes Wertepaar x, y. 

 Es kommen die Bedingungen : 



/ r f 



dl ^X ^^ ^1? ^^2 ^2 ^2' % %> 



d. h. 



«1' = % + Ci, «2' == «2 + ^27 «3' = %• 



Die Kreisgleichung: 



{x — «i)" + (y — «2)^ + «3 = ^ 



gestattet demnach in der That die Transformationen: 



x^^=x + e^, 2/1 = 1/ + Ca, «1' = «1 + Ci, «/ = ^'2 + «2? «3' = «3. 



die eine einfache geometrische Deutung haben. 



Die Gleichungen (6) stellen sicher 00'' verschiedene Transforma- 

 tionen dar, da schon die beiden ersten Gleichungen oo'" verschiedene 

 Transformationen ausdrücken. 

 Transfer- Fcmcr stclleu die Gleichungen 



mationen 



• \ / ^1 ^^^^ -^1 V^l * * ^ni} ^1 ■ ' ^rjy ' ' ' ^m ■^miCf'i ' ' Clm j ^i ' ' Cr) 



für sich eine Schar von Transformationen von «^ • • «,„ in a/ • • a^ dar, 

 allerdings nicht gerade notwendig auch oo*" verschiedene, sondern mög- 

 licherweise weniger. Charakterisieren wir eine einzelne Curve (1) durch 

 ihr Wertsystem a^- - am, so geben die Gleichungen (7) an, in welche 

 Curve («/• • am) die Curve {a^ ■ • am) durch die Transformation (5) der 

 Gruppe übergeht, welche alle 00"* Curven unter einander vertauscht. 

 Wir wollen diese Transformationen (7) symbolisch mit Se, Se • ■ ■ 

 bezeichnen, sodass Se die zu e^ • • e,-, S^ die zu e/ • • e/ gehörige be- 

 deutet. Andererseits seien Te, Tg' ■ ■ • die Transformationen der vor- 

 gelegten r-gliedrigen Gruppe (5). Zu jeder Tg gehört dann eine ganz 

 bestimmte Sg. Führen wir Tg auf alle Punkte der Ebene aus, so heisst 

 dies analytisch, es wird die Transformation Sg auf die Grössen % • • a,, 

 oder auf die 00'" Curven {a^ - ■ «„,) ausgeführt. 



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