Die Gruppe der Parameter einer bei einer Gruppe invarianten Curvenschar. 239 



Da die Te, T, eine Gruppe bilden, so ist: 



T T ' = T 



und hier bedeuten «^ • • £r gewisse Functionen von e, • • e,- und e/ • • e/. 

 Wenn Te, Tg' nach einander ausgeführt werden, so kommt dies darauf 

 hinaus, dass Se, Sg- nach einander auf die Curven (a^ • • o,„) ausgeübt 

 werden. Die Aufeinanderfolge deckt sich geometrisch damit, dass J\ 

 auf alle Punkte oder also S^ auf die Grössen a^ • ■ a,n ausgeführt wird. 

 Es ist daher auch 



Se Se' = Se , 



mit anderen Worten: Die Transformationen (7) bilden eine Gruppe in ^\^^j^v^_ 

 den m VeränderlicJien a^ • • a,,*). '^tumJulTv' 



Sie enthält die Parameter e^ • • er, die — wie schon bemerkt — in J''»™'""*«'- 

 ihr nicht sämtlich wesentlich zu sein brauchen. Wir können uns eine 

 begriffliche Vorstellung von dieser Gruppe (7) machen, wenn wir nicht 

 die oo^ Punkte {x, y) der Ebene, sondern die oo™ Curven {a^ • ■ a,„) 

 der Schar (1) als Individuen auffassen (sie etwa in einem Raum von 

 m Dimensionen durch die Punkte mit den Coordinaten a^ • • a,„ ab- 

 bilden). Die Transformationen (7) geben dann an, wie diese Indivi- 

 duen bei der Gruppe (5) unter einander vertauscht werden. Dass sie 

 eine Gruppe bilden, erscheint dann ziemlich selbstverständlich. Da 

 nun aus 



TeTe=l 



folgen würde, dass SgSg die Curven gar nicht transformierte, d. b. 

 «1 • • «,„ ungeändert Hesse, so ist dann auch 



Se Se = 1 



zu setzen. Wir sagen nun: 



Satz 2: Gestattet die Schar von oo»' Curven 

 Sl{x, y, «1 • • rt,„) = 

 die r-gliedrige Gruppe 



X, = <p{x, y, e^ ■ ■ er), y^ == i>(x, y, e^ • • e,.) 



mit paarweis inversen Transformationen, und führt die allgemeine Trans- 

 formation (ßi • • Cr) der Gruppe die Curve («j • • a,,,) in die Cnrve 

 («,' • • öl) über, so sind «/ • • a^ gewisse Functionen A^ ■ • Ay^ von a^ • ■ «,„ 

 und e^ • ■ er, und die Gleichungen 



a^ = Ai f«! • • ttm, ßi • • Cr), • • • a-m = Am{ßi ' ' dm, ^i ' ' <?;•) 



*) Wir halion zwar Gruppen in m Veränderlichen noch nicht eingeführt, es 

 wird aber die hier betrachtete Gruppe durch die obigen Überlegungen genügend 

 definiert. 



