240 Kapitel 10. § 1. 



stellen eine Jiöchstens r-gliedrige Gruppe mit paarweis inversen Trans- 

 formationen in den m Veränderlichen a^ • • a,n dar. 

 Ferner bilden dann die Gleichungen: 



. ^1 = 9>(.^, y, ^1- • ^r), Vi = t{x, y, e^-' Cr), 



a^ = Ji-y(il-^ • ' Cl,riy e^ ' • Cr)) ' ' ' Oirn ^^^^ ■^^iii\P'i ' ' ttmj Cj • • C,-) 



ebenfalls eine Gruppe mit paarweis inversen Transformationen und ßivar 

 eine r-gliedrige in den m -{- 2 Veränderlichen x, y, a^ • ■ «,„. 



Das zuletzt Gesagte ist leicht einzusehen und braucht wohl hier 

 nicht noch bewiesen zu werden. Es folgt ja unmittelbar aus der ana- 

 lytischen Fassung des Gruppenbegriffes. 



Wir nennen die Gruppe (7) der a-^ • ■ ar die Gruppe der Parameter 

 der bei (5) invarianten Curvenschar (1). 

 Beispiele. 1. Bcispicl : Wir führten oben auf die Kreisschar 



{X — «i)^ + (2/ — «2)' + «3 = 



die zweigliedrige Gruppe 



x^ = x-{-e^, y^ = y-\-e., 

 aus und erhielten: 



«l' = % + ^lJ «2' = «2 + ^2> «3' = «3- 



Offenbar stellen diese Gleichungen eine zweigliedrige Gruppe in den 

 Veränderlichen a^, a^, a^ mit den Parametern e^, Cg dar. Auch die 

 Gleichungen : 



a^i == a; + 61, yi = y + e.^, a( = «1 + 61, a,^ == «2 + ^2? %' = «d 



bilden eine zweigliedrige Gruppe in den Veränderlichen x^ y, a^, a^, «3. 

 2. Beispiel: Die Schar aller 00^ Kreise mit dem Radius 1: 



{x - a,y -\riy- a,f -1=0 



bleibt offenbar invariant bei der dreigliedrigen Gruppe aller Be- 

 wegungen: 



Xi = X cos 61 — y sin e^ + e^, 2/i = ^ sin Ci -{- y cos e^ + e,. 

 Hier ergiebt sich, wie der Leser ausrechnen möge, 



Qj' = tti cos e^ — «2 sin e^ + Cg, a^ = a^ sin e^ + a^ cos e^ + 63. 



Diese Gleichungen bilden offenbar eine Gruppe, denn sie haben genau 

 die Form der Gruppe der Bewegungen. 



5. Beispiel: Die Schar der 00^ Parabeln 

 y^ — a^x — a^ == 

 gestattet alle Transformationen der dreigliedrigen Gruppe 

 Xi=e,x-{-e.„ y,=e.,y, 



