Die Gruppe der Parameter einer bei einer Gruppe invarianten Curvenschar. 241 



denn man kann «/, 0/ so als Functionen von «i, ög, e^, ßg? '^a be- 

 stimmen, dass 



y^^ — alx^ — a; = 

 oder also 



^3^2/^ — <(eia; 4- Cg) — a/ = 

 ist vermöge 7/ = aja; + öj^. Es kommt nämlich : * 



^/^i — «^i'^i = 0; e3^«2 — «i'^2 — ^^2' = 0, 



also 



«1 =7-01, «2 = ^3^«2 



e. 



Es ist dies eine dreigliedrige Gruppe in den beiden Veränderlichen 

 öj , Ü2 • 



Im Anschluss hieran sei ein Satz eingeschaltet, der erst später 

 benutzt werden wird: Liegt eine Schar von oo^ Curven vor, so haben 

 wir in Satz 2 nur eine Gleichung 



a = Ä(a, e^ . . e,). 



Geben wir a einen bestimmten Wert, d. h. wählen wir eine Curve aus 

 und setzen wir dann a == a, so liegt eine Gleichung zwischen Cj . . c,. 

 vor. Jede Transformation der gegebenen Gruppe, der solche Werte 

 e^ . . Cr zugehören, die dieser Gleichung genügen, führt die ausgewählte 

 Curve in sich über. Die obige Gleichung bestimmt aber oo'-i Wert- 

 systeme (gj . . Cr). Also gestattet eine einzelne Curve der Schar von 

 00^ Curven sicher mindestens 00'— 1 Transformationen der Gruppe. 



Also können wir sagen : 



Satz 3: Gestattet eine Schar von 00^ Curven der Ebene eine r-glie- 

 drige Gruiype der .Ebene, so bleibt jede einzelne Curve der Sehar bei min- 

 destens C50'— 1 Transformationen der Gruppe invariant. 



Wie gesagt, werden wir diesen Satz erst später anwenden. 



Jeder Transformation T der r-gliedrigen Gruppe (5) entspricht 

 eine bestimmte Transformation der Gruppe (6) und umgekehrt. Hieraus 

 ziehen wir einen Schluss: Wir wissen, dass die oo'" Transformationen 

 der Gruppe (5) sich in oo*"-! eingliedrige Untergruppen anordnen 

 lassen. Den 00^ Transformationen einer dieser eingliedrigen Gruppen 

 entsprechen gewisse 00^ Transformationen der Gruppe (6) und diese 

 müssen ebenso wie jene eine eingliedrige Gruppe bilden, d. h. sie inf. Transf. 

 werden von einer infinitesimalen Transformation erzeugt. °'uud"' ' 



Es besitzt demnach die Gruppe (6) auch oo''— ^ infinitesimale '"^'*""' "" 

 Transformationen, die, wie man sofort sieht, sämtlich von einander 

 verschieden sind. Wenn nämlich 



Lio, Continuierliche Gruppen. 16 



