Die Gruppe der Parameter einer bei einer Gruppe invarianten Curvenschar. 245 



Die Bediugungeu (8) reichen daher in der That völlig aus zur 

 Bestimmung der infinitesimalen Transformationen der Gruppe (6). 



Man möge diese Methode zur Bestimmung der infinitesimalen 

 Transformationen Vif in den oben angegebenen Beispielen anwenden. 

 Wir geben hier noch ein neues: 



Beispiel: Die Schar aller oo^ Geraden: 



^ -:^ a^x -\- a^y — 1 = 

 gestattet die Gruppe aller Bewegungen, bei der 



UJ-7IF.P, U^fEEE q, U,f^ yp - xq 

 ist. (Siehe § 3 des 4. Kap.) Hier bestimmt sich VJ aus: 



V^Sl^a^ -f a^^x -f- a^^y = 

 vermöge ü = 0. Setzen wir hierin 



__ 1 — a^x 



ein, so kommt 



«1«2 + «11 «2^ + «12 — ai2«i*" = 0, 



d. h. 



«1 

 sodass 



wird. Analog ist: 



jr ^_ df df „ df 



Für V^f fordern wir, dass 



V^Sl = a^y — a^x -^ a^,x + a^^y 



vermöge 5^ = verschwinden soll. Da i^ = nicht homogen in x, y 

 ist, so geht dies nur dann, wenn 



«31 =«2; «32=— «1, 



also 



Vf=ll^-x^f ^n ^f n ^f 

 ist. 



Um eine Anwendung hiervon zu machen, wollen wir einmal alle 

 Functionen a> von x, y, a^, «^ suchen, welche bei der gefundenen 

 Gruppe VJ, VJ, VJ invariant bleiben. Da diese Gruppe in lauter 

 eingliedrige Untergruppen zerfällt, die von infinitesimalen Transforma- 

 tionen erzeugt werden, so ist hierzu notwendig und hinreichend, dass 

 ^ invariant bleibe bei den drei gefundenen infinitesimalen Transfor- 

 mationen. Wir fordern also, dass identisch sei: 



= — «i«2, «it = - - = — a. 



^f ^ 2 of df 



p— — a/ -^ a, a„ ~ 



