Princip der Dualität. 247 



Betrachten wir eine proiective Transformation Transform 



■•■ •' dor Coord 



^ ^ ^ %^ 4" ^3 2/ + <^3 ' *3 ^ + ^3 2/ + ^3 mationen. 



Sie führt die oo^ Geraden 



(11) ux -{- vij -{- 1 = 



der Ebene in einander über. Die einzelnen Geraden der Schar werden 

 bestimmt durch die Parameter u, v. Diese Coefficienten heissen be- 

 kanntlich die Liniencoordinaten (in engerem Sinne) der Geraden (11). 

 Sie sind die reciproken negativen Werte der Abschnitte der Geraden 

 auf den Coordinatenaxen. 



Bei der Transformation (10) gehe die Gerade (11) in die Gerade 

 ("i> ^i) od^^ 



(12) u,x, + v,y, + 1 = 



über, ti^, v^ sind dann gewisse Functionen der ursprünglichen Para- 

 meter u, V und der Coefficienten von (10). Um sie zu berechnen, 

 lösen wir (10) nach x, y auf, wodurch sich bekanntlich ergiebt (vgl. 

 § 3 des 1. Kap.) : 



^ _ -^ 1^1 + ^2/1 + A .. ^ -Bi3 + B, yj^ B, 

 C, X, + C, y, + C,'^ C, x,~-f' G^, +U, > 



und setzen diese Werte in (11) ein. Die Gerade (11) geht also über 

 in die Gerade : 



u{Ä,x,-{-Ä,y,-\-A,) + viB,x, + B,y, + B,) + (C,x,-{-C,y,-{-C,) = 



oder: 



Ai, Bi, Ci bedeuten die zweireihigen ünterdeterminanten der Deter- 

 minante E-{^aJ)^c.^ hinsichtlich a,-, &,-, d. 



Die Liniencoordinaten Uy, v^ der neuen Geraden (12) oder (12') 

 haben hiernach die Werte : 



^ ^ ""i Ä,u + B,v + C,' ""' — A,u + b;v -f-G,' 



Bei der projectiven Transformation (10) werden folglich die Linien- 

 coordinaten u, V ebenfalls projediv — allerdings mit anderen Coeffi- 

 cienten — transformiert, denn u^, Vi sind linear gebrochene Functionen 

 von u, V mit demselben Nenner. 



Die Transformation (13) sagt aus, wie die Geraden (w, v) bei der 

 Punkttransformation (10) unter einander vertauscht werden. Geraden, 

 die sämtlich durch einen Punkt {x, y) gehen, werden selbstverständ- 



