248 Kapitel 10, §§ 2, 3. 



lieh iu Geraden übergeführt, die ebenfalls sämtlich durch einen Punkt 

 (■^i; ^i) gellen, d. h. Strahlenbüschel gehen in Strahlenbüschel über. 



iiKomeiuc ]y[an kann nun allgemein fragen, wie überhaupt eine Ti-ansforma- 



üoradün, .^[qj^ ^qy Qeradon unter einander, d. h. eine Transformation der Linien- 

 ii'' Büschel ßQOj.jiiiaten u, v beschaffen sein muss, wenn Strahleubüschel stets 

 ''""'"''■ wieder in Strahlenbüschel übergehen sollen. Diese Frage wollen wir 

 rein analytisch formulieren: Wenn eine Gerade (u, v) durch einen 

 bestimmten Punkt (x, ij) hindurchgehen soll, so ist dazu notwendig 



und hinreichend, dass 



iix -\- vy -\- l = 



sei. Alle Geraden {u, v) also, welche durch den Punkt {x, y) hin- 

 durchgehen, werden durch vorstehende Gleichung definiert. So giebt 

 überhaupt jede lineare Gleichung zwischen n, v: 



au -\- ßv -{- y = 

 alle Geraden (ii, v) durch einen gemeinsamen Punkt mit den Coor- 



dinaten x = - und y = —■ 



y y 



Wir fragen mithin nach allen Transformationen von u, v in «i, v^, 

 bei denen eine lineare Gleichung mischen u, v ivieder in eine lineare 

 Gleichung zivisehen u^, v^ ühergeht. 



Nun haben wir früher bewiesen (siehe Theorem 2, § 3 des 2. Kap.), 

 dass diejenigen analytischen Transformationen der Punkte {x, y) in 

 Punkte (iCi, y^), bei denen Geraden in Geraden, d. h. jede lineare Glei- 

 chung zwischen x, y wieder in eine lineare Gleichung zwischen x^, y^ 

 übergeht, eben die projectiven, die von der Form (10) sind. Die rein 

 analytische Definition dieser Transformationen stimmt mit der Defini- 

 tion der gesuchten Transformationen völlig überein bis auf eine andere 

 Bezeichnung der Veränderlichen. Daher ergiebt sich sofort der 



Satz 4: Die allgemeinste analytische Geradentransformation, welche 

 StrahlenMschel wieder in Strahlenhüschel überführt, hat die projectivc 



Form : 



g, u - f Pi y -f 71 ^^ «a u -f- p, ?; + 72 



^h — -^^ _^ ß^y + y^ 5 ^1 a,u + ß,v + 73 " 



Die Übereinstimmung dieser Form mit der Form (13) lehrt, dass 

 bei projectiven Punkttransformationen die Geraden der Ebene schon in 

 allgemeinster Weise so unter einander vertauscht werden, dass Strahleu- 

 büschel in Strahlenbüschel übergehen. 



Satz 5: Die allgemeinste Geradentransformation, welche Strahlen- 

 büschel in Strahlenbüschel überführt, tvird erhalten, wenn die allgemeinste 

 projectivc Punkttransformation auf die Punkte aller Geraden ausgeführt wird. 



