Princip der Dualität. 249 



Der hier bewerkstelligte Übergang von einem geometrischen Satze ^'^^^^^^^^jf^®'' 

 durch seine analytische Fassung hindurch zu einem neuen geome- 

 trischen Satze ist ein Ausfluss aus dem Principe der Dualität, das 

 darin seinen Urspruug hat, dass die Gleichung 



ux -\- vy -\- 1 = 



zwei wesentlich verschiedene Deutungen zulässt, je nachdem u, v oder 

 X, y fest angenommen werden. Diese Gleichung giebt bei testen u, v 

 alle Punkte {x, ?/), welche auf einer Geraden liegen, also eine gerade 

 Punktreihe, während sie bei festen x, y alle Geraden («, v) definiert, 

 welche durch einen Punkt gehen, also ein Strahlenbüschel. 



Man kann hieraus schliessen, dass jeder Satz, der nur von der 

 ficeseuseitigen Lage gewisser Punkte und Geraden handelt, sofort einen 

 neuen Satz liefert, wenn man in ihm Punkt mit Gerade vertauscht, 

 dabei aber vereinigt liegende Punkte und Geraden durch ebenfalls ver- 

 einigt liegende Geraden und Punkte ersetzt. Ein Beispiel hierzu ist 

 der Satz des Desargues, nach welchem bei zwei Dreiecken, deren ent- 

 sprechende Eckpunkte auf drei durch einen Punkt gehenden Geraden 

 liegen, die Schnittpunkte entsprechender Seiten in einer Geraden ge- 

 legen sind. Die Anwendung des angedeuteten Principes des Dualität 

 lehrt hier sofort, dass auch die Umkehrung dieses Satzes richtig ist. 



Analytisch drückt sich ein Satz, der von der gegenseitigen Lage 

 von Punkten und Geraden handelt, durch ein System von Gleichungen 

 zwischen gewissen Punkten {x, y) und gewissen Geraden {u, v) aus. 

 Will man ihn vermöge des Principes der Dualität umwandeln, so hat 

 man nur überall Punkt- und Liniencoordinaten zu vertauschen, mit 

 anderen Worten, die Transformation 



(14) u, = x, Vi = y, x^ = u, y^'=v 



auf die Coordinaten x, y, u, v auszuführen und alsdann die neuen 

 Gleichungen geometrisch zu deuten. 



Diese Überführung (14) von Punkten und Geraden in einander 

 ist keine Punkt- oder Geradentransformation. Wir bezeichnen sie als 

 die specielle Dualität^ D. Sie ist eines der einfachsten Beispiele von si>ecie]ie 



. Dualität. 



solchen Operationen, die Berühnmgstransformationen heissen. Dies zu 

 erläutern, ist jedoch hier nicht der Platz. 



§ 3. Die allgemeine Dualität. 



Wir können leicht einsehen, dass die Gleichungen (14) nur einen 

 speciellen Fall einer allgemeineren Operation, darstellen, welche eben- 

 falls Punkte {x, y) und Geraden {u, v) in resp. Geraden (m^, Vi) und 



