250 Kapitel 10, § 3. 



Punkte (Xi, y^) verwandelt und auch vereinigte Punkte und Geraden 

 in vereinigte Geraden und Punkte überführt, also Sätze der genannten 

 Art in neue Sätze verwandelt. Zu dem Zweck fragen wir nach der 

 allgemeinsten analytischen Transformation von x, y, u, v in u^, v^, x^, y^: 



u, == 9(^, y), ^1 = ^(^; y)^ ^1 = q(^^' ^)} yi = <^(**' ^)> 



welche erstens alle Punkte (x, y) einer Geraden in Strahlen («j, Vi) 

 eines Büschels, zweitens alle Strahlen («, v) eines Büschels in Punkte 

 (^1» ^i) ßiner Geraden und drittens vereinigt liegende Punkte (x, y) 

 und Geraden {u, v) in vereinigt liegende Geraden (ii^, v^ und Punkte 

 {x, y) überführt. 



Unsere erste Forderung verlangt, dass bei der Transformation 



Ui =(p(x, y), Vi = tl^{x, y) 



eine lineare Gleichung zwischen x, y stets wieder in eine lineare 

 Gleichung zwischen u, v übergehe. Ihre analytische Formulierung ist 

 also die alte, und sie lehrt, dass allgemein 



(iO; U^ — a,x + h,y + c,' "^ a,x + h,y + c, 



sein muss. Die a, h, c bedeuten hierbei beliebige Zahlen, deren De- 

 terminante 2:' + «1 &2 ^3 iiic^^ verschwindet. Nach unserer zweiten 

 Forderung müssen auch x^, y^ linear gebrochene Functionen von u, v 

 mit gleichen Nennern sein : 



Um endlich unsere dritte Forderung zu erfüllen, betrachten wir 

 alle Punkte {x, y) einer Geraden (u, v). Sie sind an die Gleichung 

 (17) ux -\- vy -^ l = 



gebunden. Vermöge (15) gehen sie in Geraden (w^, v^) über, und es 

 ist, wie die Auflösung von (15) giebt: 



^1— (7iM, + C,^. +^3' y^ '^O.u. + C.v. + G,' 

 Setzen wir diese Werte in (17) ein, so sehen wir, dass diese Geraden 

 (Mj, Vj) an die Relation gebunden sind: 



u{A^u, + A^v, + A.,) + v{B,u, + B,v, + B-^) + {C,u^ + C.^v, + C3) = 

 oder : 



Ä^u + B^v 4- C, , A^u-\- B^v -{- Ca 



u 



v^ 4- 1 = 0. 



A,u^B^ + C.-'^A.u-^-B.v + G, 



Diese Relation ist linear in Wj, v^. Sie bestimmt alle Geraden («j, Vj), 

 welche durch den Punkt mit den Coordinaten 



