Die allgemeine Dualität. 251 



gehen. Alle Punkte {x, y) auf den Geraden («, t;) gehen also über 

 in alle Geraden (m^, Vj) durch den Punkt, welcher diese Coordinaten 

 x^, i/i hat. Es muss dies also der Punkt sein, in welchen die Gerade 

 {ii, v) durch die gesuchte Operation übergeführt wird, da vereinigt 

 liegende Punkte {x, y) und Geraden {ii, v) in vereinigte Geraden und 

 Punkte übergehen sollen. Mit anderen Worten: die Gleichungen (18) 

 müssen die Transformation (16) darstellen. Die a, ß, y sind also 

 nichts anderes als die Unterdeterminanten Ä, B, C. *■ 



Theorem 23: Die allgemeinste analytisch ausdrücJchare,^^''J^^^l] 

 Abbildung von Punkten {x, y) und Geraden (w, v) in Geraden i^"aii*ät. 

 (mj, v^) und Punkte (x-^^, y^, hei ivelcher alle Punkte einer Ge- 

 raden in ein Strahlenbüschel, ferner ein Strahlenbüschel in 

 alle Punkte einer Geraden und überhaupt vereinigt liegende 

 Punkte und Geraden in vereinigt liegende Geraden und Punkte 

 übergeführt werden, hat die Form: 



*^^ A,u'-YB,v -^-C,^ ^' Ä,u + B,v^C,' 



Hierin bedeuten die a, b, c beliebige Zahlen^ deren Determi- 

 nante I^^a^b^c^^O ist, während Ai, Bi, Ci die zweireihigen 

 Unterdeterminanten dieser Determinante hinsichtlich ai, bi, d 

 sin d. 



Wir bezeichnen diese Operation als die allgemeine Dualität z/. Die 

 obige specielle Dualität D geht aus ihr hervor, wenn aj^ = b.2 = e^ = l 

 und alle anderen Coefficienten gleich Null gesetzt werden. 



Die allgemeine Dualität z/ lässt sich noch in mehr symmetrischer 

 Weise darstellen. Aus der Gleichung (15) und aus 



Wi^i + «^1^1 + 1=0 

 folgt nämlich : 



(19) {a,x-\-b,y-{- c,)x^ + (a^x + b.,y + c.,) ij, + {a^x + b.^y + Cg) = 0. 



Dies ist eine bilineare Gleichung in x, y und x^, ^/j. Halten wir x, y 

 als gegeben fest, so stellt diese Gleichung in Punktcoordinaten x^, y^ 

 die Gerade dar, in welche der Punkt (x, y) vermöge ^ übergeht. 

 Halten wir Xj^, y^ fest, so stellt sie eine Gerade dar, an welche der 

 Punkt (x, y) gebunden ist, nämlich die Gerade: 



