Die allgemeine Dualität. 



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wie sohou ihre Gleichungen (14) zeigen, die durch Vertauschung von 

 X, y, u, V mit x^, y^, u^^ v^ nicht geändert werden. 



Jede Dualität mit symmetrischer Determinante lässt eine einfache 

 und wichtige geometrische Deutung zu: Betrachten wir nämlich den 

 Kegelschnitt ; 



(20) 



= 0, 



so können wir an ihn vom Punkte (a;, y) aus zwei Tangenten ziehen. 

 Alsdann ist bekanntlich für den Bertthrpunkt {x^, ij^ jeder derselben: 



A 



B, 



a 



^3 Q 



y. 1 



= 



oder, da jet^t die Determinante Z + A^B^^C^ symmetrisch sein soll, 

 also beide Glieder übereinstimmen: 



A, 



A. 



B, 

 B, 





A3 B^ C3 



^1 yi 1 



Diese Gleichung wird von jedem der beiden Berührpunkte, also von 

 jedem Punkte (rc,, ^j) der Berührsehue, welche bekanntlich die Polare 

 des angenommenen Poles {x, y) heisst, erfüllt. Andererseits stellt 

 (19') die Gerade in Punktcoordiuaten x^, y^ dar, in welche der Punkt 

 {x, y) vermöge der Dualität übergeht. Da (19') mit obiger Gleichung 

 zusammenfällt, so folgt: Eine Dualität mit symmetrischer Determinante ^"larität. 

 füJirt jeden PimM p über in seine Polare g^ hinsichtlich des Kegel- 

 schnittes (20). (Fig. 26.) 



Da die Gleichungen dieser Dualität uu- 

 geändert bleiben, wenn x, y, u, v mit x^^, 

 2/1 > ^'i> ^1 vertauscht werden, so folgt, dass 

 die Dualität auch jede Gerade in ihren Pol 

 hinsichtlich des Kegelschnittes (20) verivandelt. 



Satz 6 : Eine Dualität mit symmetrischer 

 Detertninanfe verivandelt jede Figur in die 

 polare hinsichtlich eines gewissen festen Kegel- 

 schnittes. 



Fig. 2C. 



