254 Kapitel 10, §§ 3, 4. 



So führt die specielle Dualität D jede Figur in ihre polare hin- 

 sichtlich des (imaginären) Kegelschnittes: 



a;2 + «/2 + 1 = 



über. Wir bemerkten schon früher, in § 4 des 3. Kap., dass wir die 

 elementare analytische Theorie der Kegelschnitte als bekannt voraus- 

 setzen. In dieser werden auch die Beziehungen zwischen Pol und 

 Polare erörtert. Zur Vermeidung von Irrtümern möchte nur noch her- 

 vorzuheben sein, dass jeder reelle Punkt bei vorgelegtem reellen 

 Kegelschnitt eine reelle Polare hat, wenn auch die Berührpunkte der 

 Tangenten von dem Punkte an den Kegelschnitt für innere Punkte 

 imaginär werden. 



der Dopptfi- Kehren wir wieder zur allgemeinen Dualität ^ zurück. Erinnern 



beffiigem!''^^^ ^^^ daran, dass erstens das Doppelverhältnis von vier Punkten 

 Dualität, einer Geraden gleich dem ihrer Abscissen oder Ordinaten, zweitens 

 das von vier Geraden durch einen Punkt gleich dem ihrer Abschnitte 

 auf einer Axe, also auch gleich dem ihrer Liniencoordinaten u oder v 

 ist, und dass drittens das Doppelverhältnis ungeändert bleibt bei einer 

 Transformation, welche die neuen Veränderlichen als linear gebrochene 

 Functionen der ursprünglichen mit demselben Nenner darstellt, so folgt 

 unmittelbar : 



Satz 7 : Bei einer Dualität gehen vier PnnJcte einer Geraden in 

 vier Geraden durch einen Punkt mit demselben Doppelverhältnis über, 

 und umgekehrt. 



Da wir nun früher die Kegelschnitte rein projectiv definiert haben 

 (vgl. Satz 17, 18, 19 in § 4 des 3. Kap.), so folgt hieraus weiter: 



Satz 8: Eine Dualität führt die Punkte eines beliebigen Kegel- 

 schnittes in die Tangenten eines neuen Kegelschnittes und die Tangenten 

 der ersteren in die Punkte des letzteren über. 



Insbesondere lehrt also Satz 6, dass die polare Figur eines Kegel- 

 schnittes hinsichtlich eines festen Kegelschnittes stets wieder ein Kegelschnitt ist. 



Auch folgt, wenn p der Pol der Geraden ^^ hinsichtlich eines 

 Kegelschnittes ist, wie in Figur 26, und wenn eine Gerade durch p 

 den Kegelschnitt in a und b, die Polare g^ in q triift, dass bei der 

 polaren Umformung die vier Punkte a, p, b, q in vier Geraden durch 

 einen Punkt übergehen, nämlich a in die Tangente a von a, p in die 

 Polare g^, b in die Tangente ß von b und q in eine Gerade h durch p. 

 Die Geraden a, g^, ß, h müssen sämtlich durch einen Punkt gehen. 

 Ferner muss nach Satz 7 das Doppelverhältnis (apbq) = {ag^ßh) sein. 

 Letzteres Doppelverhältnis ist aber nach Satz 1, § 1 des 1. Kap., gleich 

 dem der Punkte a, q, b, p, sodass kommt: 



