Ausführung von Dualitäten und projectiven Punkttransf. nach einander. 255 



(aphq) = (aqbp). 

 Die rechte Seite ist gleich dem reciproken Wert von (aphq). Daher ist 



(apbq) = — 1, 



denn (aphq) = 1 würde aussagen, dass zwei der vier Punkte zu- 

 sammenfallen. Also folgt, dass jede Gerade durch einen Punkt p von 

 der Polaren dieses Punktes so in einem Punkte q geschnitten wird, 

 dass p, q harmonisch getrennt werden durch die Schnittpunkte der 

 Geraden mit dem Kegelschnitt. Ähnlich Hessen sich noch andere auf 

 die Polarentheorie bezügliche Sätze ableiten. 



§ 4. Ausführung von Dualitäten und projectiven Punkttrans- 

 formationen nach, einander. 



Führen wir irgend zwei Dualitäten z/, und zJ^ nach einander aus, ^"f- 



" ... eiiiaiuler- 



so geht ein Punkt zunächst bei z/, in eine Gerade, alsdann diese Ge-^^ige z-.veier 



. . . . -^ ' Dualitäten. 



rade bei z/g wieder in einen Punkt über. Ferner geht eine Gerade 

 bei z/j in einen Punkt, darauf dieser Punkt bei z/2 wieder in eine 

 Gerade über. Überdies gehen ein Punkt und eine durch ihn gehende 

 Gerade bei z/j in eine Gerade und einen Punkt auf ihr, diese bei z/g 

 in einen Punkt und eine hindurchgehende Gerade über. 



Die Aufeinanderfolge zweier Dualitäten z/^, z/g kann folglich er- 

 setzt werden durch eine gewisse Punkttransformation, welche Geraden 

 in Geraden überführt, d. h. durch eine projective Transformation F, 

 was wir symbolisch ausdrücken : 



Insbesondere ist, wie wir schon bemerkten, die Wiederholung 

 einer Dualität mit symmetrischer Determinante der Idöntität äquiva- 

 lent, so auch die der speciellen Dualität D : 



' DD = 1. 



Ferner lässt sich jede Dualität z/ umkehren. So ergiebt sich die inverse 



T\ 1 "j.- ± 1 mi c\n r\ • Dualität. 



zur UuaJitat des iheorems 23 inverse Operation, wenn man die Glei- 

 chungen dieses Theorems nach u, v, x, y auflöst und x^, y^, u^, v^ als 

 die ursprünglichen Coordinaten auffasst. Diese inverse Operation ist 

 wieder eine Dualität. Wir bezeichnen sie symbolisch mit z/~^. 



Überhaupt ist zu beachten, dass die symbolische Bezeichnungs-Sym^'oiische 

 weise der Punkttransformationen sich ohne weiteres auf diö der Duali- uung der 

 täten ausdehnen lässt, obgleich die Dualitäten ganz andere Operationen 

 sind. Es liegt dies darin, dass jene Bezeichnungsweise überhaupt für 

 beliebige Operationen, denen man die Gebilde unterwerfen kann, ge- 

 eignet ist. Wir werden also auch schreiben können : 



