256 Kapitel 10, § 4. 



d. h. die Aufeinanderfolge einer Dualität und der inversen giebt die 



Identität. Aus 



I)D= 1 



folgt, wenn wir beiderseits noch D"^ ausüben: 



d. h. die zur speciellen Dualität inverse stimmt mit ihr überein, was 



uns nichts neues ist. 

 Allgemeine Nun wisscn wir, dass die Aufeinanderfolge der speciellen Dualität 



abgeleitet J) und ciucr allgemeinen Dualität /J einer projectiven Punkttransfor- 



aus d(!r . x» •• • ^ l ■ l 



speciellen. mation F aquivalcnt ist : 



DJ ==P. 



Führen wir hier beiderseits links I) aus, so kommt: 



BDz] =^BF 

 oder, da BB = \ ist: 



zl = BP. 



In Worten : 



Satz 9: Jede Bualität ist äquivalent der Aufeinanderfolge der spe- 

 ciellen Bualität und einer projectiven Tunldtransformation. 



Aus der Formel 



welche aussagt, dass die Aufeinanderfolge zweier Dualitäten einer ge- 

 wissen projectiven Transformation äquivalent ist, folgt, wenn wir 

 beiderseits Jf~'^ links oder ^g"^ rechts ausüben: 



Wir fassen unsere Ergebnisse so zusammen : 



Satz 10 : * Bemchnen ^a, ^b • ■ • Bualitäten und Pa, P^ • • - pro- 

 jective Punldtransformationen, so gelten Beziehungen von der Form: 



P^Fß = Fy, Fa^a = ^b, ^aPa = ^c, ^a^b = ^d- 



Auch sind dann Ja~^, ^b~'^ -- • Bualitäten und P„~S P^-^ . . . pro- 

 jective PitnUtransformationen. Bie Aufeinanderfolge einer Anzahl von: 

 projectiven Punldtransformationen und Bualitäten ist also einer einzigen: 

 projectiven Punldtransformation oder einer einzigen Bualität äquivalenty 

 je nachdem die Anzahl der vorkommenden Bualitäten gerade oder un- 

 gerade ist. 



Betrachten wir also die Gesamtheit aller Dualitäten und pro-S 

 jectiven Transformationen der Ebene, so finden wir, dass dieser Schar 

 von Operationen die Eigenschaft zukommt, dass die Aufeinanderfolge ; 

 zweier Operationen der Schar wieder eine Operation der Schar ist. 

 Diese Schar besitzt also die Gruppeneigenschaft. 



