Ausführung von Dualitäten und projectiven Punkttransf. nach einander. 257 



Satz 11 : Ber Inlcgriff aller projectiven Punldtransformationen und _^{[™pp/„^ 

 aller Dualitäten der Ebene bildet eine Gruppe von Operationen mit paar- l'^^l°^; 

 weis inversen Operationen. Duamäten. 



Wir lernen hiermit eine Gruppe von Operationen kennen, die 

 wohlbemerkt keine Punkttransformationsgruppe ist, da sie die Punkte 

 nicht immer in Punkte verwandelt. 



Es möge nun T eine bestimmte projective PunkttraasformationAusfiihrung 

 bedeuten, während J irgend eine Dualität sein soll. Wir wollen die ijv.aiuät 

 Bualitüt A auf T ausüben und müssen vorerst erklären, was dies ™ctivo 

 heisst : T wird die Punkte p und Geraden g der Ebene in neue Punkte 

 ji/ und Geraden g überführen. Nun wollen wir die Dualität A sowohl 

 auf die ursprünglichen Punkte und Geraden p, g als auch auf die 

 neuen Punkte und Geraden p, g ausführen. Die p und g werden bei 

 z/ in gewisse Geraden g^, und Punkte p^, die p und g in gewisse Ge- 

 raden g^' und Punkte p/ abgebildet. Wir kommen also zu einer Opera- 

 tion, bei welcher den Punkten p^ und Geraden g^ der Ebene die Punkte 

 p/ und Geraden g^' zugeordnet sind, und wissen, dass diese Operation 

 eine projective Punkttransformation T ist. Um ihren symbolischen 

 Ausdruck zu erhalten, bedenken wir, dass wir den Übergang von den 

 p^, g^ zu den p^, gl auch so herstellen können: p^ und g^ werden von 

 z/-i mg und p, diese von T in g und p und letztere endlich von 

 A in pl und gl übergeführt. Die Aufeinanderfolge von z/-^, T und 

 A leistet mithin dasselbe wie T . 



Satz 12 : Führt man auf eine projective Funlttransformation T der 

 Ebene eine Dualität A aus, so erhält man die projective FunUtrans- 



formation : 



T'= A~^TA. 



Es möge nun eine continuierliche projective Gruppe T„, T,, . . . 

 mit paarweis inversen Transformationen vorliegen, und es sei: • 



Wenn eine Dualität A auf alle Transformationen der Gruppe ausge- 

 führt wird, so gehen sie über in neue projective Transformationen: 



T:=A-^TaA, Tl=A-'T,A,---. 

 Alsdann ist: 



T:TI= A-'TaAA-^T,A= A-'TaToA 



oder, d& TaTb== Z ist: 



TäTo'=A-^TcA=Tc'. 



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Lic, Continuierliche Gruppen. 



