Ausführung von Dualitäten und projectiven Punkttransf. nach einander. 259 



so folgt leicht, dass auch jede zu T dualistische Transformation 

 T= /l~^TzJ ein gewisses Gebilde invariant lässt, dasjenige Gebilde 

 F' nämlich, das aus F durch Ausübung der Dualität z/ hervorgeht: 



Denn es ist: 

 (F')T'= {F')^-^Tzl = {F)^^-^T/1 = (F)Tz/ = {F)zJ = (F). 



Also folgt auch allgemein : 



Satz 14 : Lässt eine projcctive Gruppe ein gewisses Gebilde F in- 

 variant, so lässt auch diejenige Gruppe, die aus der vorliegenden durch 

 Ausübung einer gewissen Dualität z/ hervorgeht, ein gewisses Gebilde F' 

 invariant, dasjenige nämlich, das aus F durch Ausübung von J entsteht: 



(F') = (F)^. 



In § 4 des 4. Kap. sprachen wir von allen projectiven Trans- 

 formationen, die ein gewisses Gebilde in Ruhe lassen, und zeigten, 

 dass dieselben eine Gruppe bilden, die also durch Angabe des in- 

 varianten Gebildes vollständig definiert ist. Offenbar können wir nun 

 hinzufügen : 



Satz 15 : Ist eine projcctive Gruppe definiert als der Inbegriff aller 

 projectiven Transformationen, die ein getvisses Gebilde F in Rtdie lassen, 

 so lässt sich die vermöge der Dualität /i zur Gruppe dualistische Gruppe 

 definieren als der Inbegriff aller projectiven Transformationen, die das 

 aus F vermöge J hervorgehende Gebilde in Buhe lassen. 



Denken wir uns nun schliesslich, es sei eine projective Gruppe (rBestimmgn. 

 vorgelegt, und wir wünschen alle zu ihr dualistischen Gruppen su be- Gruppen. 

 stimmen. Da nach Satz 9 jede Dualität durch die Aufeinanderfolge 

 der speciellen Dualität D und einer projectiven Transformation er- 

 setzt werden kann, erhalten wir die dualistischen Gruppen, wenn 

 wir auf G zunächst D und alsdann irgend eine projective Transfor- 

 mation ausüben. Indem wir zunächst auf G die specielle Dualität D 

 zur Ausführung bringen, erhalten wir eine bestimmte dualistische 

 Gruppe r. Jede andere zu G dualistische Gruppe geht alsdann da- 

 durch hervor, dass wir F irgend einer projectiven Transformation 

 unterwerfen, kurz, alle zu G dualistischen Gruppen sind „innerhalb der 

 allgemeinen projectiven Gruppe der Ebene gleichberechtigt" mit der 

 Gruppe F, wenn wir uns einer gelegentlich eingeführten Bezeichnungs- 

 weise bedienen, die wir allerdings früher nur für die eingliedrige 

 Gruppe benutzten. (Vgl. § 2 des 3. Kap.) 



Es wird sich also nur darum handeln, die Gruppe F zu finden, ^der'ape""^ 

 die aus G durch die specielle Dualität hervorgeht. Zu dem Zweck^noOw* 



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