Ausführung von Dualitäten und projectiven Punkttransf. nach einander. 261 



Ist z. B. die vorgelegte Gruppe G die Gruppe aller projectiven 

 Trausformationen, die den Anfangspunkt in Uuhe lassen (vgl. § 4 des 

 4. Kap.): 



xp, yp, xq, yq, x^p -^ xyq, xyp -\- y'q, 

 so ist die vermöge D dazu dualistische Gruppe F nach unserer Tafel 



diese : 



xp, xq, yp, yq, p, q, 



d. h. die Gruppe aller linearen Transformationen. G ist definiert als 

 Inbegriff aller projectiven Transformationen, welche den Anfangspunkt 

 in Ruhe lassen, F als der aller, welche die unendlich ferne Gerade in 

 Ruhe lassen. D aber führt gerade den Anfangspunkt in die unendlich 

 ferne Gerade über. Denn man erhält allgemein die Gerade g, in welche 

 ein Punkt p bei D übergeht, indem man auf dem Radius vector von 

 p in einem solchen Abstand vom Anfangspunkt das Lot g errichtet, 

 dass das Product aus Radius vector und Abstand gleich — 1 ist, 

 sodass also p und g auf entgegengesetzter Seite vom Anfangspunkt 

 liegen. Rückt p in den Anfangspunkt, so wird g unendlich fern. Wir 

 haben hier also eine Bestätigung unseres Satzes 14 in einem Beispiele 

 gefunden. 



Kapitel 11. 



Bestimmung aller projectiven Grruppeu der Ebene. 



Wir sind nunmehr soweit ausgerüstet, um alle projectiven Gruppen 

 der Ebene zu bestimmen und durch projective Umformung, d. h. durch 

 Einführung neuer Veränderlicher vermöge passender projectiver Trans- 

 formationen, auf typische Formen zu bringen. Bei Erledigung dieses 

 Problems haben diejenigen infinitesimalen projectiven Transformationen, 

 welche zum Typus q (vgl. § 3 des 3. Kap.) gehören, besondere Be- 

 deutung. Da wir also von ihnen mehreres zu sagen haben werden, 

 so erscheint eine kurze Bezeichnung für diese angebracht. Man nennt 

 sie hin und wieder ausgeartet perspective Transformationen, wir wollen 

 sie aber kürzer als Elutionen bezeichnen*). 



*) Es mag hier hervorgehoben werden, dass auch bei Untersuchungen in n 

 Veränderlichen über projective Gruppen, die eine grosse Anzahl Parameter ent- 

 halten, die Betrachtung der in ihnen enthaltenen Elutionen sehr oft fruchtbar ist. 



