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Kapitel 11, § 1. 



§ 1. Bestimmung aller mehr als viergliedrigen projeetiven Gruppen. 



Eiation. Unter Elationen verstehen wir die infinitesimalen Transformationen 



der Ebene, welche innerhalb der allgemeinen projeetiven Gruppe mit 

 der infinitesimalen Translation q gleichberechtigt sind, also aus dieser 

 durch Einführung neuer Veränderlicher vermöge projectiver Transfor- 

 mation hervorgehen. Das invariante Punkt- und Geradengebilde einer 

 Elation besteht nach § 4 des 3. Kap. aus allen Punkten einer Geraden 

 und aus allen Geraden durch einen auf der ersteren Geraden gelegenen 

 Punkt. (Siehe Fig. 27.) Es ist demnach charakterisiert durch jene 



Gerade und diesen Punkt auf ihr, 

 durch den Inbegriff einer Geraden 

 und eines auf ihr liegenden Punktes, 

 wir sagen: durch ein Linimelement. 

 Umgekehrt ist eine Elation durch 

 ihr invariantes Punkt- und Geraden- 

 gebilde völlig definiert. Geometrisch 

 ist demnach eine Elation völlig be- 

 stimmt, sobald man ihr Linienelement 

 angegeben hat. 



Es sind mehrere Fälle denkbar: 

 Liegt die Gerade des Linienele- 

 mentes unendlich fern, so ist die Ela- 

 tion eine Translation ap-\-hq. Liegt 

 nur der Punkt unendlich fern, die Gerade aber sonst im Endlichen: 



Ix -\- ^y -\- V = 0, 



so ist jede Parallelgerade bei der Elation invariant, insbesondere also 

 auch die unendlich ferne Gerade. Die Elation ist daher zunächst 

 linear (Satz 10, § 3 des 3. Kap.) : 



{ax + &«/ -f c)p -f {dx -\r ey -{- f)q. 



Da jeder Punkt der Geraden Xx -\- ^y -\- v = invariant bleiben soll, 

 so müssen ax -\- ly -\- c und dx -\- ey -\- f proportional Ix -\- ^y -\- v 

 sein, sodass das Symbol die Form annimmt: 



{Ix -\- iiy -^ v) {ap -\r ßq). 



Nun muss noch d{Xx-^ ^y) gleich Null sein vermöge Xx -f f*?/==Const. 

 Es ist also ka -j- ^ß gleich Null, daher: 



a : ß = — fi : X, 



sodass endgültig das Symbol der Elation so lautet: 



{Ix -\- iiy + v) (fip — kq). 



Fig. 27. 



