Bestimmung aller mehr als viergliedrigen projectiven Gruppen. 263 



Wenn drittens — und dies ist der allgemeine Fall — Punkt und 

 Gerade des Linienelementes im Endlichen liegen, der Punkt an der 

 Stelle (Xq, «/o), die Gerade an der Stelle: 



X{x — Xq) + ii{y — y^) = 0, 

 so wird die Elation durch Einführung neuer Veränderlicher 

 x^x — Xq, Tj = y — yQ 



in eine solche übergeführt, bei welcher der Anfangspunkt und die 



Gerade 



Ix -{- ^y = 



das Linienelement bestimmen. Jeder Punkt dieser Geraden bleibt in- 

 variant, wenn die Incremente der Coordinaten vermöge Xx-\-iiy = 

 verschwinden, sodass die Elation als projective Transformation zu- 

 nächst ein Symbol hat von der Form : 



{Ix + fty) ((a + yx)p + (/3 + yy)q). 



Jede Gerade y — Const. x = soll invariant bleiben. Es ist folglich 

 a = /3 = 0. Setzen wir wieder : 



x = x-\-Xq, y = y-\-yQ, 



so ergiebt sich das gewünschte Symbol der Elation: 



(1) {x{x — Xq) + ii{y — ^o)) ((^ — ^o)p + (y — yo)a)- 



Da zu jedem Linienelement — Inbegriff von Punkt und hindurch- 

 gehender Geraden — eine und nur eine Elation gehört, so giebt es 

 gerade oo^ Elationen überhaupt. 



Man kann sich fragen, für welche Werte der Constanten «, h..li 

 die allgemeine infinitesimale projective Transformation 



TJf=ap-\-lq-\-cxp-{-dyp-\rexq_-\-gyq-\-li{x^p~\-xyq)-\-Ti{xyp-\-y''q) 



insbesondere eine Elation vorstellt. Es müssen sich dafür — da es 

 oü^ infinitesimale projective Transformationen üf giebt — gerade 

 7 — 3 = 4 homogene Bedingungen zwischen a, h . .h ergeben. Wir 

 erhalten sie, indem wir TJf mit der allgemeinsten Elation (1) ver- 



