264 Kapitel 11, § 1. 



01 = 2dh^ — chic + e¥ = 0, 

 0, = dh^ — gJilc + 2e¥ = 0, 

 03 = d^'h'' — ah¥ + de¥ = 0, 

 0^ = edh^ — hh^h + e^F = 0. 



Doch wurde hierbei vorausgesetzt, dass li und h nicht beide ver- 

 schwinden. Sind h und li beide Null, so ergiebt der Vergleich mit 



{Xx + ^y + v) {^p — Xq) 



offenbar noch drei Relationen, da es oo^ lineare Uf giebt, aber oo^ Ela- 

 tiouen mit unendlich fernem Punkt vorhanden sind. Im allgemeinm 

 aber, wenn Uf nicht linear ist, werden die Elutionen üf durch vier von 

 einander unabhängige Belationen 0i = zwischen a, h . .li bestimmt. 



^^uilutn ^^ ^^g^ ""^ ^i^6 r-gliedrige projective Gruppe Gr der Ebene 



'"jooUvcu'''"(*' < ^) vorliegen. Ihre oo'— i infinitesimalen Transformationen sind, 



Gruppe. yf[Q ^[j. wissen, aus r von einander unabhängigen ableitbar in der Form 



Die Coefficieuten a, b . .h der Uf sind demnach lineare homogene 

 Functionen der ganz willkürlichen c^ . . Cr. Zwischen ihnen bestehen 

 also 8 — r Relationen, die frei von c^ . . Cr sind. Sobald a, b . .h diese 

 8 — r Relationen erfüllen, ist umgekehrt die zugehörige Uf linear 

 aus UJ'. . . Urf ableitbar. Aus allen od^ infinitesimalen projeetiven 

 Transformationen Uf werden also die der Gruppe Gr angehörigen da- 

 durch herausgehoben, dass man ihre Coefficienten a, b . .h gewissen 

 8 — r homogenen Relationen unterwirft. 

 uedrr'o ^^® infinitesimalen Transformationen einer 7- gliedrigen projeetiven 



Gruppe. G,j sind also durch eine homogene Relation W =0 zwischen a, b . .h 

 definiert. Andererseits sind alle oo^ Elationen Uf durch vier homo- 

 gene Relationen ^i = 0, 0^ = 0, <^3 = 0; ^4 = zwischen a, b ..li 

 definiert. Ist nun ^ == eine Folge dieser vier Gleichungen ^i = 0, 

 so folgt, dass Gr^ alle oo^ Elationen, also auch diejenigen mit unend- 

 lich fernem Linienelement oder unendlich fernem Punkt, enthält. Ist 

 dagegen ^ = von jenen Gleichungen unabhängig, so enthält G^ 

 nur oo^ Elationen. Im ersteren Fall muss die G^ insbesondere die 

 Elationen 



p, q, x^p -f xyq, xyp + y'q 



enthalten. Nach dem Hauptsatz enthält sie dann auch die durch 

 Klammerbildung hervorgehenden 



2xp-{-yq, xq, xp -{- 2yq, yp, 



