Bestimmung aller mehr als viergliedrigen projectiven Gruppen. 265 



d. b. überhaupt alle infinitesimalen projectiven Transformationen, was 

 damit in Widerspruch steht, dass Grj nur 7-gliedrig ist. Eine pro- 

 jedive (r^ Jcamt somit gerade nur oo''* Elationcn enthalten. Der Fall, 

 dass h und Tc beide in der G^ stets Null sind, kommt ja ebenfalls 

 hier nicht in betracht, da sonst offenbar die Gruppe nur 6-gliedrig 

 wäre. Wir können auch sagen: Die allgemeine projective Gruppe G^ 

 ist die einzige, die alle cx)^ Elatidnen enthält. 



Eine projective G^ enthalt <x>^ oder oo^ Elationen, denn bei ihr gUe^Hge 

 sind a, h ..k an zwei Relationen W^ = 0, W.^ = gebunden. Sind "'""pi'"- 

 sie von ^^ = 0, ..0^ = unabhängig, so giebt es nur oo^~^ = oo^ 

 Elationen in der G^, ist eine abhängig, so giebt es oo^~^ = (X)" Ela- 

 tionen. Wären beide abhängig, so würde Gq alle oc^ Elationen ' ent- 

 halten, was nach Obigem unmöglich ist. Auch im Fall, dass h und 

 Je für alle Uf der G^^ Null sind, ist diese Betrachtung richtig, denn 

 dann ist die G.. die allgemeine lineare Gruppe mit oo^ Elationen. ^""f- 



Ebenso sieht man leicht ein, dass eine projective G-^ gerade oo^ uruppe. 

 oder oo^ oder oo^ (d. h. eine discrete Anzahl) Elationen und mvar im 

 letzteren Falle, da die a, h . .li sich aus homogenen Gleichungen be- 

 stimmen, sicher mindestens eine Elation enthält. Wenn h und h beide 

 Null sind bei allen Uf der G^, so besteht zwischen den übrigen 

 a, h . . . g eine homogene Relation infolge der Gruppeneigeuschaft, 

 während für die Elationen noch drei homogene Relationen hinzutreten. 

 Demnach enthält eine fünfgliedrige lineare Gruppe auch (und zwar 

 mindestens oo^) Elationen. 



Satz 1 : Die einzige p-ojeetive Gruppe, welche alle oo^ Elationen 

 enthält, ist die allgemeine achtgliedrige. Eine siebengliedrige muss gerade 

 oo"^, eine sechsglicdrige cx)'^ oder oo^ und eine fünfgliedrige oo''^ oder oo^ 

 oder tvenigstens eine oder einige Elationen enthalten. 



1. Beispiel: Die allgemeine lineare Gruppe . ., 



^ " ^ •"• OO Beispiele. 



p, q, xp, tjp, xq, yq * 



enthält alle oo^ Elationen mit unendlich fernem Punkte. Wir % 



stellen sie in Figur 28 schematisch dar, indem wir jede Ela- !u 



tiou durch ihr zugehöriges Linienelement andeuten. ^ 



2. Beispiel: Bei der Gruppe, bestehend aus allen pro- ^ 

 jectiven Transformationen, welche den Anfangspunkt in Ruhe ^ 

 lassen: ^ 



xp, yp, xq, yq, x^p + xyq, xyp + y^q i^^g- ^s. 



giebt es keine Elation mit Linienelementen, deren Geraden unendlich 

 fern sind. Wohl aber giebt es hier Elationen mit unendlich fernem 

 Punkte, nämlich alle diese; 



